Monotonie bei Funktionen

31.10.2015, 22:30

Abstract

Monotonie bei Funktionen

Hallo,

ich habe hier ein Beispiel zur Monotonie bei Funktionen:
Ich soll untersuchen, in welchen Teilintervallen die Funktion $\begin{eqnarray*} f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x)=(x^2-3x+3)e^{-x} \end{eqnarray*}$ streng monoton wachselnd oder fallend ist.

Also wenn ich zwei Punkte habe a und b bzw. ein Intervall [a,b], wobei a < b. Wenn f(a)<f(b) ist, dann nennt man das streng monoton fallend und für f(b)>f(a) monoton wachsend.

Naja ich hab mir mal den Graphen angeschaut und eig. ist diese Funktion ja immer streng monoton fallend. Für sehr große x wird Null angenähert.

$\begin{eqnarray*} f'(x)=-e^{-x}(x^2-5x+6) \end{eqnarray*}$ und für $\begin{eqnarray*} f'(x) = 0 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} x_1=3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2=2 \end{eqnarray*}$ , wo bei sich bei $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ ein Hochpunkt und bei $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ ein Tiefpunkt befinden soll. Wie geht das denn bitte? Ich glaube ich habe da irgendetwas nicht beachtet. Würde mich über Hilfestellungen freuen!

LG
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31.10.2015, 22:38

Bjoern1982

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Zitat:

Naja ich hab mir mal den Graphen angeschaut und eig. ist diese Funktion ja immer streng monoton fallend

Das wirkt vielleicht nur auf den ersten Blick so.
Wenn du die y-Achse mal deutlich feiner skalierst, dann sieht man auch besser, dass es dort in der Tat einen lokalen Hoch- und Tiefpunkt gibt.

31.10.2015, 23:00

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D.h im Intervall $\begin{eqnarray*} (\infty, 2] \end{eqnarray*}$ ist die Funktion streng monoton fallend, im Intervall $\begin{eqnarray*} [2,3] \end{eqnarray*}$ streng monoton wachsend? Aber was passiert danach, ohne jetzt den Graphen näher anzugucken?

31.10.2015, 23:26

Bjoern1982

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Wenn du die lokalen Extrema identifiziert hast, dann hast du deine Antwort, denn nur dort ändert der Graph sein Steigungsverhalten.
Da in x=3 ein lokales Maximum vorliegt, fällt der Graph danach logischerweise.
Nochmal ansteigen geht ja nicht, denn sonst müsste es nach x=3 ja nochmal eine Extremstelle geben, was nicht der Fall ist.

31.10.2015, 23:58

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D.h. ich brauche nur Extremas ausrechnen und dann weiß ich schon, dass vor einem lokalen Minima die Funktion fällt und nachher wieder steigt. Bei einem Maxima gilt dasselbe nur mit "wachseln".
Richtig so?

Spezialfall: Was wäre, wenn es nach einem Minima/Maxima einfach gerade weiter gehen würde?

01.11.2015, 18:13

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Kann mir jemand weiterhelfen bitte?

02.11.2015, 18:46

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Irgendwie geht mein Thread immer unter, sorry für den "Push", aber kann mir wer weiterhelfen bitte?

02.11.2015, 19:05

IfindU

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Zitat:

Original von Abstract
D.h. ich brauche nur Extremas ausrechnen und dann weiß ich schon, dass vor einem lokalen Minima die Funktion fällt und nachher wieder steigt. Bei einem Maxima gilt dasselbe nur mit "wachseln".
Richtig so?

Ja.

Zitat:

Original von Abstract
Spezialfall: Was wäre, wenn es nach einem Minima/Maxima einfach gerade weiter gehen würde?

Was heißt "einfach gerade weiter gehen"?

02.11.2015, 19:17

Abstract

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Naja so ne Art Rampenfunktion, oder gibts sowas net bzw. ist das nicht differenzierbar?

02.11.2015, 19:20

IfindU

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Ahso, du meinst soetwas wie $\begin{eqnarray*} x \mapsto \begin{cases} x^2 & x < 0 \\ 0 & x \geq 0\end{cases} \end{eqnarray*}$ .

Das gibt es (es gibt sogar glatte Funktionen, die das können). Da es danach "flach" weiter geht, findest du bei den Nullstellen der Ableitung hier alle nichtnegativen Zahlen -- etwas allgemeiner wenigstens ein Intervall von Nullstellen der Ableitung. D.h. du wirst schon merken, wenn so etwas passiert.

02.11.2015, 23:04

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Ahh ok danke.

Wie wäre es dann z.B. bei f(x)=sin(x)+x für x \in \mathbb R?
1. Ableitung ist ja cos(x)+1 und ein Extrema haben wi rbei x=\phi
2. Ableitung ist ja -sind(x)+1, also haben wir -sin(180)+1 = 1, also ist das ein Tiefpunkt.

Naja und wie weiß man nun, ohne den Graphen zu zeichnen, ob es vom -unendlichen her fällt oder vom +unendlichen?

03.11.2015, 07:30

IfindU

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Das ist ein Sattelpunkt der unendlich vielen ja. Deine zweite Ableitung ist falsch (warum verschwindet die 1 beim ableiten nicht?) Und du meinst wirklich wie die Funktion f aussieht? Das sieht man an $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ selbst. Man weiß, dass Sinus durch +1 und -1 beschränkt ist. Also ist $\begin{eqnarray*} -1 + x \leq f(x) \leq 1 + x \end{eqnarray*}$ für alle x. D.h. bis auf kleine Oszillationen verhält sich die Funktion wie $\begin{eqnarray*} g(x) = x \end{eqnarray*}$ (also die Identität). Also $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} f(x) = \infty \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty \end{eqnarray*}$ .

03.11.2015, 16:24

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Oh, ahja stimmt.

Also bei der zweiten Ableitung kommt einfach Null raus. Was hat denn das zu bedeuten? Wenn die 1. Ableitung x=\pi ergibt. Ist das dann überhaupt ein Extrema, oder wie behandelt man das jetzt?

Ich meine, was man sagen kann wenn man sich den Graphen anguckt ist folgendes: Im Intervall $\begin{eqnarray*} [0+\pi n,\pi+2\pi n] \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ ist die Funktion monoton wachsend.

Kann man das so sagen? Denn bei $\begin{eqnarray*} \pi n \end{eqnarray*}$ ist die Steigung ja immer Null.

03.11.2015, 16:35

IfindU

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Es gibt einen Satz: Ist $\begin{eqnarray*} f'(x_0) = 0 \end{eqnarray*}$ und sei n deart, dass $\begin{eqnarray*} f^{(k)} = 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} 1 \leq k < n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f^{(n)} \neq 0 \end{eqnarray*}$ . Dann ist es ein Extremum, falls $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gerade und ein Sattelpunkt, falls $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ungerade. Kurz: Mal kann immer weiter ableiten, bis die Ableitung zum ersten Mal nicht verschwindet. Dann muss man nur gucken ob man eine gerade oder ungerade Zahl oft abgeleitet hat. Gibt es so ein $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ nicht, liefert der Satz keine Aussage.

Hier sieht man, dass die zweite Ableitung noch verschwindet, die dritte aber nicht. Da drei also ungerade ist, liegt kein Extremum vor.

Alternativ: Man erkennt an $\begin{eqnarray*} f'(x) = \cos(x) +1 \geq 0 \end{eqnarray*}$ die Funktion überall (!) monoton wachsend ist. Und eine monotone Funktion nimmt nur degenerierte "Extrema" an, d.h. wenn sie eine Weile konstant bleibt.

Was an der Ableitung höchstens unklar ist, ob die Funktion streng monoton wächst. Auch das kann man sich schnell klar machen: Wenn sie das nicht täte, gäbe es $\begin{eqnarray*} x_1 < x_2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x_1) = f(x_2) \end{eqnarray*}$ , und aus Monotonie $\begin{eqnarray*} f(x_1) = f(x) = f(x_2) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \in [x_1, x_2] \end{eqnarray*}$ . Und das verträgt sich damit, dass die Stellen der verschwindenten Ableitung nur isolierte Punkte sind. Und streng monotone Funktionen nehmen überhaupt keine lokalen Extrema an (bzw. genau an Randpunkten des Intervalls, falls das Intervall welche enthält.)

03.11.2015, 16:46

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Achso, die Funktion ist NICHT streng monoton wachsend, sondern nur monoton wachsend, da bei monoton wachsend die Null ja zählt. Richtig?

03.11.2015, 16:50

IfindU

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Du hast mich falsch verstanden. Die Funktion IST streng monoton wachsend, die Ableitung kann sowas aber hin und wieder nicht sehen. (Läuft darauf hinaus, dass die Ableitung durch einen Grenzwertprozess zustande kommt, und es Folgen von strikt positiven Zahlen gibt, die gegen 0 konvergiert.)

Ein einfacheres Bsp. ist $\begin{eqnarray*} f(x) = x^3 \end{eqnarray*}$ . Die Funktion ist ebenfalls streng monoton wachsend (d.h. $\begin{eqnarray*} x < y \implies f(x) < f(y) \end{eqnarray*}$ , obwohl $\begin{eqnarray*} f'(x) = 3x^2 \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} f'(0) =0 \end{eqnarray*}$ .

03.11.2015, 17:35

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Achso okay hmm, aber ich verstehe folgendes nicht:

Aber hat z.B. x^3 nicht bei 0/0 eine Steigung von Null, warum ist das dann streng monoton wachsend?

monoton wachsend heißt ja: x <= y und f(x)<= f(y) und f'(x)>=0.

03.11.2015, 17:42

IfindU

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Per Definition ist monoton wachsend: $\begin{eqnarray*} x \leq y \implies f(x) \leq f(y) \end{eqnarray*}$ und streng mononton wachsend $\begin{eqnarray*} x < y \implies f(x) < f(y) \end{eqnarray*}$ .

Es gibt folgende Aussagen: Ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ differenzierbar (wir sind in einem Intervall) und $\begin{eqnarray*} f'(x) \geq 0 \end{eqnarray*}$ dann ist die Funktion monoton wachsend. Gilt $\begin{eqnarray*} f'(x) > 0 \end{eqnarray*}$ , so ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ streng monoton wachsend.

Die Aussage sagt nicht, dass $\begin{eqnarray*} f'(x) > 0 \end{eqnarray*}$ notwendig ist zur strengen Monotonie. Sie sagt nur: Wenn die Ableitung starken Wachstum sieht, dann ist die Funktion streng monoton. Es sagt aber eben nicht aus, dass aus strenger Monotonie folgt, dass $\begin{eqnarray*} f'(x) > 0 \end{eqnarray*}$ für alle x.

Die Idee im Beweis ist, dass $\begin{eqnarray*} f(y) - f(x) > 0 \end{eqnarray*}$ falls $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ streng monoton und $\begin{eqnarray*} x < y \end{eqnarray*}$ . Da dann $\begin{eqnarray*} y-x > 0 \end{eqnarray*}$ ist auch $\begin{eqnarray*} \frac { f(y) - f(x) } {y - x } > 0 \end{eqnarray*}$ . Für $\begin{eqnarray*} y \to x \end{eqnarray*}$ erhalten wir $\begin{eqnarray*} f'(x) \geq 0 \end{eqnarray*}$ . Das meinte ich mit der Folge von positiven Zahlen, die ggf. gegen 0 konvergiert. In dem Fall ist die positive Differenz $\begin{eqnarray*} f(y) - f(x) \end{eqnarray*}$ , die die strenge Monotonie misst, zwar da, aber sie ist klein. So klein, dass man sie durch $\begin{eqnarray*} y - x \end{eqnarray*}$ teilen kann, und sie immer noch für $\begin{eqnarray*} y \to x \end{eqnarray*}$ verschwindet.

03.11.2015, 19:41

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Achso danke es wird besser, d.h. jetzt in Worten:

$\begin{eqnarray*} x^3 \end{eqnarray*}$ ist streng monoton, weil es genau nur einen einzigen Punkt gibt wo die Steigung Null ist, dass ist bei $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ , aber bei $\begin{eqnarray*} x=0,00000000001 \end{eqnarray*}$ steigt die Funktion schon wieder, d.h. es gibt nie mehr als einen Punkt, wo die Ableitung Null ist. Würd es mehr geben, also die Funktion konstakt verlaufen, dann würde man nur monoton wachsend bzw. fallend sagen, richtig?

Aber wie man jetzt ohne den Graphen anzugucken nach guckt ist mir nicht klar. Könntest du es mir nochmals erklären? Z.b. wie zeigt man bei $\begin{eqnarray*} f(x)=x^3 \end{eqnarray*}$ , dass diese streng monoton wachsend ist?

Also: $\begin{eqnarray*} f'(x)=3x \end{eqnarray*}$ , d.h. bei $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ ist die Steigung Null. Aber wie beweist man nun, dass es doch streng wachsend oder fallend ist?

Ist folgendes der Beweis dafür?

Zitat:

Die Idee im Beweis ist, dass $\begin{eqnarray*} f(y) - f(x) > 0 \end{eqnarray*}$ falls $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ streng monoton und $\begin{eqnarray*} x < y \end{eqnarray*}$ . Da dann $\begin{eqnarray*} y-x > 0 \end{eqnarray*}$ ist auch $\begin{eqnarray*} \frac { f(y) - f(x) } {y - x } > 0 \end{eqnarray*}$ . Für $\begin{eqnarray*} y \to x \end{eqnarray*}$ erhalten wir $\begin{eqnarray*} f'(x) \geq 0 \end{eqnarray*}$ . Das meinte ich mit der Folge von positiven Zahlen, die ggf. gegen 0 konvergiert. In dem Fall ist die positive Differenz $\begin{eqnarray*} f(y) - f(x) \end{eqnarray*}$ , die die strenge Monotonie misst, zwar da, aber sie ist klein. So klein, dass man sie durch $\begin{eqnarray*} y - x \end{eqnarray*}$ teilen kann, und sie immer noch für $\begin{eqnarray*} y \to x \end{eqnarray*}$ verschwindet.

Der erste Satz ist mir klar, das sagt einfach aus, dass es eine Steigung gibt, nämlich eine streng monotone. Aber das ist ja noch kein Beweis. Was bringt es x and y annähern? Du meinst $\begin{eqnarray*} x=y \end{eqnarray*}$ , oder? Denn dann haben wir genau diesen einen Punkt, wo die Ableitung = 0 ist. Aber bewiesen ist doch hier wieder nichts oder?

03.11.2015, 20:15

IfindU

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Die Funktion $\begin{eqnarray*} x \mapsto x^3 \end{eqnarray*}$ wächst immer im Sinne der Monotonie, auch wenn ihre Steigung im Sinne der Ableitung an einer Stelle verschwindet.

Aus $\begin{eqnarray*} f'(x) \geq 0 \end{eqnarray*}$ überall folgt schon einmal monotones Wachstum. Ich hatte eben schon kurz argumentiert warum aus $\begin{eqnarray*} f'(x) \geq 0 \end{eqnarray*}$ überall und $\begin{eqnarray*} f'(x) > 0 \end{eqnarray*}$ bis auf vereinzelte Punkte impliziert, dass die Funktion sogar streng monoton wachsend ist.

Man kann natürlicher elementarer argumentieren über die Ordnungsaxiome der reellen Zahlen. Im Prinzip läuft alles auf $\begin{eqnarray*} a < b \implies ac \leq bc \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} c \geq 0 \end{eqnarray*}$ und die Transivität des Vergleichens hinaus. Da $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ punktsymmetrisch reicht es hier $\begin{eqnarray*} 0 \leq x < y \end{eqnarray*}$ zu betrachten. Dann liefert das oben sofort $\begin{eqnarray*} 0 \leq x^3 < y^3 \end{eqnarray*}$ , was zu zeigen war.

Der Beweis unten war um zu zeigen, dass sowohl Monotonie als auch strenge Monotonie implizieren, dass $\begin{eqnarray*} f' \geq 0 \end{eqnarray*}$ (falls die Ableitung existiert), und zu zeigen, warum auch strenge Monotonie nicht ausreicht um immer $\begin{eqnarray*} f' > 0 \end{eqnarray*}$ zu folgern. Die Ableitung $\begin{eqnarray*} f' \end{eqnarray*}$ sagt aus was passiert wenn $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ sehr nahe beinander sind und man den entsprechenden Differenzenquotienten untersucht. Da kommt ein Grenzwert ins Spiel und dort verliert man das strikte Ungleichzeichen im Beweis (und in der "Realität").

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