Eine rekursiv definierte Folge |
01.11.2015, 00:48 | Weitweg | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Eine rekursiv definierte Folge mit konvergiert. Als Hinweis steht noch dabei, dass man zeigen soll und dann die Häufungspunkte der Folge bestimmen soll. zu zeigen ist ja einfach, aber wie soll ich die Häufungspunkte der Folge bestimmen? , falls das gemeint ist... |
||||
01.11.2015, 11:45 | bijektion | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das ist nicht gemeint... Du hast doch eine rekursiv definierte Folge. Was ist denn ein Häufungspunkt? |
||||
01.11.2015, 12:08 | Weitweg | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ein Punkt, gegen den eine Teilfolge konvergiert. |
||||
10.11.2015, 16:52 | Weitweg | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wie kann ich also die Häufungspunkte finden? |
||||
14.11.2015, 11:59 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Eine rekursiv definierte Folge Löse die Gleichung |
||||
14.11.2015, 12:09 | Weitweg | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Achso! |
||||
Anzeige | ||||
|
||||
14.11.2015, 12:10 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Und welcher der beiden Häufungspunkte ist nun der Grenzwert deiner Folge? |
||||
14.11.2015, 12:12 | Weitweg | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
, da nicht in dem Intervall (also zwischen 1 und 2) liegt. |
||||
14.11.2015, 15:10 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Genau |
||||
14.11.2015, 16:09 | Weitweg | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Und reicht das schon als Beweis dafür, dass die Folge konvergent ist? |
||||
15.11.2015, 00:00 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Sofern ihr den Satz schon hattet, dass eine beschränkte Folge reeller Zahlen mit nur einem Häufungspunkt konvergent ist, dann ja. Ansonsten müsstest Du noch die Monotonie der Folge zeigen. |
||||
15.11.2015, 00:33 | Weitweg | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, den Satz hatten wir. Danke! |
||||
15.11.2015, 12:38 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Grundsätzlicher Einwand: Ein Häufungspunkt der Folge muss doch nicht gleich ein Fixpunkt der Funktion sein - Gegenbeispiel: und Startwert . Offenbar gilt dann und , aber weder 0 noch -1 sind Fixpunkt von . Somit sind die Überlegungen hier nicht ausreichend - vielleicht doch besser noch die Monotonie nutzen... |
||||
15.11.2015, 16:47 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
HAL hat recht. Mein vorgeschlagenes Verfahren funktioniert nur, wenn man den Grenzwert bestimmen möchte, also die Folge schon als konvergent identifiziert hat. In diesem Fall ist also wirklich noch die Monotonie zu zeigen, um die Konvergenz zu sichern. Es sei denn Dir fällt ein Weg ein, die Häufungspunkte direkt zu bestimmen. Dann würde der erwähnte Satz wieder greifen. |
||||
18.11.2015, 02:09 | Weitweg | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Es scheint monoton steigend zu sein. Normalerweise würde man das mit vollständiger Induktion zeigen, der Induktionsanfang ist einfach, beim Induktionsschritt wirds dann schwer... |
||||
18.11.2015, 08:12 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich habe ein bißchen probiert und gerechnet. So etwas macht ja zwischendrin durchaus mal Spaß: Nicht daß das zur Lösung der Aufgabe hilfreich oder erforderlich wäre ... |
||||
18.11.2015, 10:15 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Auf den ersten Blick ist es überraschend, wie oft das dann doch noch klappt mit der expliziten Darstellung - z.B. auch immer beim Heron-Verfahren. |
||||
18.11.2015, 13:45 | Weitweg | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich glaube nicht, dass wir es explizit lösen dürfen... Der Induktionsschritt: Induktionsvoraussetzung: zu zeigen: Und da kann ich nirgendwo die Induktionsvoraussetzung verwenden... |
||||
18.11.2015, 14:33 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich schau mir so die ersten paar Werte der Folge an (etwas, was von vielen überhaupt nicht gemacht wird, warum auch immer) und rätsle, welche Behauptung du da überhaupt per Vollständiger Induktion nachweisen willst... |
||||
18.11.2015, 14:44 | Weitweg | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die ersten paar Folgengleider deuten doch auch darauf, dass die Folge monoton wachsend ist... |
||||
18.11.2015, 14:46 | Weitweg | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Außer dem Sprung von 3/2 auf 7/5. Aber danach wächst die Folge ja. Es kann auch sein, dass die Folge überhaupt nicht monoton ist, dann wüsste ich aber nicht, wie ich die Konvergenz zeigen könnte... |
||||
18.11.2015, 14:58 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vielleicht hätte ich auch noch angeben sollen, damit du dein "außer" erweitern musst... Die Folge ist nicht monoton, sondern sowas wie "alternierend monoton" - das ist kein seriöser Fachbegriff, ich meine damit folgendes: Die Teilfolge ist monoton fallend (und alle Werte sind größer als ), während die Teilfolge monoton wachsend ist (und alle Werte sind kleiner als ). |
||||
18.11.2015, 16:00 | Weitweg | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke. Wie kann ich das dann zeigen? Mittels vollständiger Induktion wirds schwer, da immer ein Folgeglied übersprungen wird... |
||||
18.11.2015, 16:42 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Mein Vorschlag wäre, sich die Differenz zum mutmaßlichen Grenzwert genauer anzuschauen, d.h. die Differenz , für diese Folge gilt dann . Wir wissen für alle , damit ist im Nenner und folglich . Aus (*) erkennt man, dass die Vorzeichen von alternieren, aber für den Betrag folgt ebenfalls aus (*) sowie der letzten Abschätzung dann mit und daran solltest du sehen, dass eine Nullfolge ist (Majorisierung durch eine geometrische Nullfolge). |
|
Verwandte Themen
Die Beliebtesten » |
|
Die Größten » |
|
Die Neuesten » |
|