Definitionsbereich und Wertebereich

01.11.2015, 01:09	Shin Tân	Auf diesen Beitrag antworten »
Definitionsbereich und Wertebereich Meine Frage: $\begin{eqnarray} f(x)=\frac{2}{\sqrt[3]{x} } +1 \end{eqnarray}$ ich suche für diese Funktion den Definitionsbereich und Wertebereich Meine Ideen: ich bin mir sehr unsicher DB: $\begin{eqnarray} x\in R \end{eqnarray}$ ; $\begin{eqnarray} x\neq0 \end{eqnarray}$ WB: $\begin{eqnarray} y\in R \end{eqnarray}$ ; $\begin{eqnarray} y\neq1 \end{eqnarray}$ doch ich schau mir immer den graphen auch online an über graphen apps um zu schaun ob ich richtig liege und da geben mir einige die Lösung die ich habe und andere geben die Lösung: DB: $\begin{eqnarray} x\in R \end{eqnarray}$ ; $\begin{eqnarray} x > 0 \end{eqnarray}$ WB: $\begin{eqnarray} y\in R \end{eqnarray}$ ; $\begin{eqnarray} y > 1 \end{eqnarray}$ Ich war mir eigentlich recht sicher das mein erster Gedanke die richtige Lösung wäre und nun bin ich mir unsicher und komme auch auf keine Idee wie man auf die 2. Lösung gekommen ist. Ich hoffe Ihr könnt mir dabei helfen. Mit freundlichen Grüßen Shin
01.11.2015, 01:44	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, da scheiden sich die Geister. Grundsätzlich sollen bei Wurzelausdrücken die Radikanden immer positiv sein. Das liegt daran, dass Wurzeln auch in Potenzen bestimmter Basen umzuwandeln sind und diese Basen definitionsgemäß immer positiv sein müssen: $\begin{eqnarray} \sqrt[n] a = a^{\frac 1 n}; \ \ a \geq 0 \end{eqnarray}$ Bezüglich der ungeradzahligen Wurzeln aus negativen Zahlen werden nicht einheitliche Positionen vertreten. Vernünftig erscheint in diesem Fall folgende Umformung: $\begin{eqnarray} (-a)^{2n+1} = - (a)^{2n+1} \ \text{für} \ a > 0, \ n \in \mathbb Z \end{eqnarray}$ Und schon ist der Forderung nach positiven Basen Genüge getan. Bei negativen x in deiner Funktion gehst du dann zu der Funktion über $\begin{eqnarray} f: \ x \to -\frac 2 {\sqrt[3] {-x}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ ist dann für solcherart abschnittsweise definierte Funktionen die Definitionsmenge (hier wegen des Bruches ausgenommen 0). mY+
01.11.2015, 13:56	ShinTân	Auf diesen Beitrag antworten »
vielen Dank für die Information wenn ich es richtig verstanden habe, wären beide Lösungen richtig ? und mein Ansatz bzw. meine Idee wäre auch die Lösung dafür
01.11.2015, 14:45	Hubert1965	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein anderer Ansatz ist der, auch die Umkehrfunktion zu betrachten, denn der Wertebereich einer Funktion ist der Definitionsbereich der Umkehrfunktion, und der Definitionsbereich der Funktion ist der Wertebereich der Umkehrfunktion Das ist die ursprüngliche Funktion $\begin{eqnarray} y=f(x)=\frac{2}{\sqrt[3]{x} } +1 \end{eqnarray}$ Diese unterziehe ich mehreren Äquivalenzumformungen: $\begin{eqnarray} y-1=\frac{2}{\sqrt[3]{x} } \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (y-1) \cdot \sqrt[3]{x}=2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (y-1)^3 \cdot x=8 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x=f(y)=\frac{8}{(y-1)^3} \end{eqnarray}$ Diese Umkehrfunktion enthält keine Wurzeln mehr, was die Untersuchung um einiges einfacher macht. Man sieht leicht, dass $\begin{eqnarray} y=1 \end{eqnarray}$ zu $\begin{eqnarray} \frac{8}{0} \end{eqnarray}$ führen würde, weswegen $\begin{eqnarray} y=1 \end{eqnarray}$ aus der Definitions-Menge der Umkehr-Funktion auszuschließen ist, sonst aber alle reellen Werte für $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ erlaubt sind. Man sieht auch, dass man für $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ einsetzen kann was man will, es wird sich dabei für $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ niemals der Wert $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ ergeben. Jede andere reelle Zahl ist als Ergebnis aber möglich. Somit ist die Werte-Menge der Umkehr-Funktion die Menge aller reellen Zahlen ohne $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ . Für die ursprüngliche Funktion sind Definitions- und Werte-Menge zu vertauschen: $\begin{eqnarray} \mathbb D: x \in \mathbb R; x \neq 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathbb W: y \in \mathbb R; y \neq 1 \end{eqnarray}$
01.11.2015, 20:13	Shin Tân	Auf diesen Beitrag antworten »
vielen Dank für die Antworten also war mein Ansatz schon richtig

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