Beweis zu Mengen

01.11.2015, 10:00

Frageheld

Beweis zu Mengen

das Ganze sieht für mich aus, wie ein Homomorphismus. Bitte korrigiert mich, wenn ich da falsch liege.

Ich soll beweisen, dass $\begin{eqnarray*} f(X\cup X') = f(X) \cup f(X') \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} X, X'\subset A \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f: A \to B \end{eqnarray*}$ .

Ich habe das wie folgt versucht:
$\begin{eqnarray*} f(X\cup X') = f(X) \cup f(X') \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \exists y\in f(X\cup X') \end{eqnarray*}$ | Definition der Vereinigungsmenge
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow y\in f(X) \lor y\in f(X') \end{eqnarray*}$ | Definition der Vereinigungsmenge
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow y\in f(X)\cup f(X') \end{eqnarray*}$

Bin mir sehr unsicher. Kann man das so schreiben?
Vielen Dank!

01.11.2015, 10:26

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Warum sollte das ein Homomorphismus sein? Definition: Homomorphismus

Und in deinem Beweis verwendest du bereits die zu zeigende Aussage: in $\begin{align*} y\in f(X\cup X') \Leftrightarrow y\in f(x) \vee y\in f(X') \end{align*}$ steckt bereits die zu zeigende Gleichheit und folgt nicht direkt aus der Definition der Vereinigungsmenge.

Fang einmal anders an: sei $\begin{align*} y\in f(X\cup X') \end{align*}$ , dann existiert ein $\begin{align*} x\in X\cup X' \end{align*}$ mit $\begin{align*} f(x)=y \end{align*}$ ...

Nun kannst du die Definition der Vereinigungsmenge einbringen.

01.11.2015, 10:48

Frageheld

Auf diesen Beitrag antworten »

danke.
meinst du in etwa so?
zZ: $\begin{eqnarray*} f(X\cup X') \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \exists y\in f(X\cup X') \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \exists x\in X\cup X' : f(x)=y \end{eqnarray*}$ |Vereinigungsmenge
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x\in X\lor x\in X' \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow f(X)\lor f(X') = y \end{eqnarray*}$ |Vereinigunsmenge
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow f(X)\cup f(X') = y = f(X\cup X') \end{eqnarray*}$

01.11.2015, 11:02

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Frageheld
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow f(X)\lor f(X') = y \end{eqnarray*}$ |Vereinigunsmenge
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow f(X)\cup f(X') = y = f(X\cup X') \end{eqnarray*}$

Diese Zeilen sind Unsinn, was soll $\begin{align*} f(X)\vee f(X')=y \end{align*}$ bedeuten? Deine Idee ist soweit aber in Ordnung.

01.11.2015, 11:21

Frageheld

Auf diesen Beitrag antworten »

ok. Habe mir gedacht, dass das der Knackpunkt ist...

Ich habe versucht, dieses x in f(x) einzusetzen: Ich weiß, dass x auf y abbildet, dass also f(x)=y gilt. x ist jetzt entweder aus der einen Menge (X), oder aber der anderen (X'). Das heißt doch, dass f(x)=y mit x aus X oder X'. Damit ist entweder f(X)=y oder f(X')=y.
Wo ist mein Denkfehler?

01.11.2015, 11:49

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Bei $\begin{align*} f(X) \end{align*}$ handelt es sich um eine Menge (die Bildmenge $\begin{align*} f(X)=\{f(x)~|~x\in X\} \end{align*}$ ), bei $\begin{align*} f(x) \end{align*}$ um einen einzigen Funktionswert. Eigentlich bist du auch auf dem richtigen Weg: wenn $\begin{align*} x\in X\vee x\in X' \end{align*}$ ist, dann ist nach Definition der Bildmenge $\begin{align*} f(x)\in f(X)\vee f(x)\in f(X') \end{align*}$ . Also kann man über $\begin{align*} y \end{align*}$ was sagen?

01.11.2015, 12:56

Frageheld

Auf diesen Beitrag antworten »

also wenn $\begin{eqnarray*} f(x)\in f(X)\lor f(x)\in f(X') \end{eqnarray*}$ , dann kann ich über Vereinigung aussagen, dass
$\begin{eqnarray*} f(x)\in f(X)\cup f(X') \end{eqnarray*}$ und dann gilt, dass
$\begin{eqnarray*} y\in f(X)\cup f(X') \end{eqnarray*}$ . Damit hätte ich es doch bewiesen, denn ich habe wir sagten ja, dass $\begin{eqnarray*} \exists y\in f(X\cup X') \end{eqnarray*}$ .

stimmt das so?

01.11.2015, 12:59

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Streng genommen hast du damit nur eine Richtung nachgewiesen: wenn $\begin{align*} y\in f(X\cup X') \end{align*}$ , dann ist auch $\begin{align*} y\in f(X)\cup f(X') \end{align*}$ . Du musst jetzt eigentlich noch die Rückrichtung zeigen: wenn $\begin{align*} y\in f(X)\cup f(X') \end{align*}$ , dann ist auch $\begin{align*} y\in f(X\cup X') \end{align*}$ .

Um es einfacher zu machen: waren die Umformungen die du gemacht hast zufällig Äquivalenzumformungen? Dann hättest du beide Richtungen auf einmal gezeigt.

01.11.2015, 13:27

Frageheld

Auf diesen Beitrag antworten »

Gut. Stimmt natürlich... geschockt

also habe ich:
$\begin{eqnarray*} \exists y\in f(X\cup X'), \exists x\in X\cup X': f(x)=y \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} zZ: y\in f(X)\cup f(X') \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x\in X\cup X' \end{eqnarray*}$ | Vereinigungsmenge
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow x\in X \lor x\in X' \end{eqnarray*}$ | Bildmenge
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow f(x)\in f(X)\lor f(x)\in f(X') \end{eqnarray*}$ | Vereinigungsmenge
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow f(x)\in f(X)\cup F(X') \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow y\in f(X)\cup F(X') \end{eqnarray*}$

richtig?

01.11.2015, 13:29

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Passt.

01.11.2015, 13:36

Frageheld

Auf diesen Beitrag antworten »

ok, vielen Dank für deine super Hilfe!! Freude

leider bist du mich noch nicht ganz los, wenn ich noch zwei Sachen fragen darf:

Ich versuche gerade, mir zu Übungszwecken diese Definition der Bildmenge selbst zu erstellen. Intuitiv heißt das ja, dass ich ein x und ein x' habe mit x=x', und dass ich dann auf beiden Seiten f anwenden kann, also f(x)=f(x'). Schreibt man dann $\begin{eqnarray*} \forall x=x': f(x)=f(x') \end{eqnarray*}$ ?

Die zweite Frage ist ne ganz ähnliche Aufgabe, die kommt nach dem Mitagessen Big Laugh

01.11.2015, 13:58

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Frage verstehe ich nicht. Was hat die Bildmenge mit $\begin{align*} x=x' \end{align*}$ zu tun?

01.11.2015, 15:17

Frageheld

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Die Frage verstehe ich nicht. Was hat die Bildmenge mit x=x′ zu tun?

ja, schlechte Frage. Beim Nachdenken ist es mir klar geworden, dass ich einen falschen Zusammenhang hergestellt habe.

Ich soll zeigen, dass $\begin{eqnarray*} f(X\cap X')\subset f(X)\cap f(X') \end{eqnarray*}$ .
In der Richtung " $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ " ist das ja analog zur ersten Aufgabe. Aber wenn ich die andere Seite zeigen soll, bin ich ratlos. Es muss ja gelten:
$\begin{eqnarray*} \exists y\in f(X)\cap f(X'), \exists x\in X\land x\in X': f(x)=y \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} zZ: y\notin f(X\cap X') \end{eqnarray*}$

Scheinbar funktioniert das ebenso analog... was übersehe ich?

01.11.2015, 17:35

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Warum willst du das denn zeigen? Du hast die eine Teilmengenbeziehung nachgewiesen, damit bist du fertig.

Wenn zeigen willst, dass die Gleichheit im Allgemeinen nicht gilt, dann solltest du nach einem Gegenbeispiel suchen.

01.11.2015, 17:47

Frageheld

Auf diesen Beitrag antworten »

ah, ok...

Ich fasse zusammen, wie ich das verstanden habe. Wenn ich eine Gleichheit bewiesen habe, dann habe ich damit impliziert auch eine Teilmengenbeziehung bewiesen. Das reicht, wenn ich eine Teilmenge beweisen muss. Ich muss nicht zeigen, dass es nur eine Teilmenge ist. (Aber wie sollte das gehen, wenn ich eine Gleichheit nachweisen kann?)
Das ist nicht richtig, oder?

Und ganz allgemein: Reicht es, ein Gegenbeispiel anzugeben, oder habe ich damit nur gezeigt, dass es für einen Fall nicht gilt. Ich hätte intuitiv gesagt, dass ich dass allgemein für alle Fälle zeigen muss.

Neue Frage »

Antworten »

Beweis zu Mengen

Verwandte Themen