Supremum

01.11.2015, 10:27

dudu22

Supremum

Meine Frage:
Hallo liebes Forum

ich habe bezüglich des Supremums etc. eine Frage undzwar:
wenn in der Aufgabe gegeben ist $\begin{eqnarray*} A=\{m/1+m | m \in \mathbb N \} \end{eqnarray*}$ heisst es dann das die Menge A in den natürlichen Zahlen ist oder reellen Zahlen? Doofe Frage ich weiß Big Laugh

Meine Ideen:
Bin mir leider nicht sicher

01.11.2015, 10:31

Iorek

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So wie es jetzt da steht, enthält die Menge $\begin{align*} A \end{align*}$ nur natürliche Zahlen. Schließlich ist $\begin{align*} m/1+m=2m \end{align*}$ . Vermutlich meinst du eher $\begin{align*} m/(1+m)=\frac{m}{1+m} \end{align*}$ , achte auf korrekte Klammersetzung wenn du auf LaTeX verzichtest!

Und ob die Menge dann nur natürliche Zahlen enthält kannst du schnell herausfinden. Für $\begin{align*} m \end{align*}$ kannst du ja einfach mal ein paar natürliche Zahlen einsetzen und ausprobieren, was heraus kommt.

01.11.2015, 10:52

dudu22

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Ja das was du geschrieben hast meinte ich. Kenne mich leider mit Latex usw nicht aus :/
d.h. ich könnte zb nicht mit definitionen des supremums argumentieren weil diese ja eigentlich immer auf reelle zahlen bezogen sind. die aufgabe lautet dass ich halt Sup, inf, max und min bestimmen soll bzw gucken soll ob es überhaupt welche gibt und diese dann natürlich auch beweisen.
in der gruppe haben wir schon inf rausgefunden (0,5), da 1 ja die kleinste zahl aus den natürlichen Zahlen ist. wir wissen aber irgendwie nicht wie wir es beweisen sollen. uns fehlt irgendwie jede art ansatz wie man bei so einem beweis vorgeht

01.11.2015, 10:59

Iorek

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Zitat:

Original von dudu22
d.h. ich könnte zb nicht mit definitionen des supremums argumentieren weil diese ja eigentlich immer auf reelle zahlen bezogen sind.

Denk über diese Aussage noch einmal nach. Ich nehme an ihr habt in eurer Definition so etwas stehen: Sei $\begin{align*} A\subset \mathbb R \end{align*}$ . Ein $\begin{align*} S\in\mathbb R \end{align*}$ heißt Supremum von $\begin{align*} A \end{align*}$ , wenn gilt...

Warum solltest du das hier nicht verwenden dürfen? Was für Zahlen sind denn in der gegebenen Menge enthalten? Warum sollte das keine Teilmenge von $\begin{align*} \mathbb R \end{align*}$ sein?

01.11.2015, 11:06

dudu22

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Bei uns ist im skript Sup. & Inf. auf angeordnete Körper bezogen
es steht folgendes da:

Definition: Sei (K, +, $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ ) ein angeordneter Körper und M $\begin{eqnarray*} \subset \end{eqnarray*}$ K eine Teilmenge

also so etwas mit reellen Zahlen steht da nicht :/

01.11.2015, 11:09

Iorek

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Dann ersetze in meinem Beitrag einfach $\begin{align*} \mathbb R \end{align*}$ durch einen allgemeinen angeordneten Körper $\begin{align*} \mathbb K \end{align*}$ . Und da es sich bei $\begin{align*} \mathbb R \end{align*}$ um einen angeordneten Körper handelt, kannst du natürlich auf die Definition zurückgreifen.

01.11.2015, 11:17

dudu22

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alles klar danke ich werde es gleich versuchent
habe dennoch noch eine frage zum beweisen, undzwar
wenn ich nun beweisen will das 0,5 inf. ist, kann ich einfach schriftlich schreiben wie schon oben gesagt da 1 die kleinste natürliche zahl ist, muss theoretisch automatisch daraus auch das infimum folgen, oder reicht das nicht?
und auch da 0,5 in der menge liegt, muss das ja dann auch gleich das min. sein oder? oder liege ich falsch bei dieser annahme? verwirrt

01.11.2015, 11:45

Iorek

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Eine Beschreibung, was eigentlich sein müsste ist kein Beweis. Was hat es damit zu tun, dass 1 die kleinste natürliche Zahl ist, warum sollte $\begin{align*} \frac{m}{m+1} \end{align*}$ im weiteren Verlauf nicht noch kleinere Werte annehmen können?

Ein möglicher Ansatz: $\begin{align*} \frac{m}{m+1}=\frac{m+1-1}{m+1}=\frac{m+1}{m+1}-\frac{1}{m+1}=1-\frac{1}{m+1} \end{align*}$ . Damit kann man nun weiterarbeiten und Abschätzungen machen um das Infimum (bzw. hier natürlich auch direkt das Minimum) nachzuweisen.

01.11.2015, 15:44

dudu22

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weil m eine zahl aus den natürlichen zahlen sein muss und die kleinste zahl aus den natürlichen zahlen 1 ist und dies eingesetzt 0,5 ergibt. gibt man 2 ein kommt 0,66 raus und das ist größer als 0,6 usw.
verstehe dein gegenargument also nicht :/

und das was du danach gemacht hast war doch nur pures umformen oder? werde leider daraus nicht schlauer... Forum Kloppe

01.11.2015, 16:15

dudu22

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ich meinte 0,5 und nicht 0,6

01.11.2015, 16:42

Iorek

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Zitat:

Original von dudu22
weil m eine zahl aus den natürlichen zahlen sein muss und die kleinste zahl aus den natürlichen zahlen 1 ist und dies eingesetzt 0,5 ergibt. gibt man 2 ein kommt 0,66 raus und das ist größer als 0,6 usw.
verstehe dein gegenargument also nicht :/

Was ist denn wenn man 3 einsetzt? Oder 4? Oder 56124079123? Kannst du mir garantieren, dass es (egal welche Zahl ich dir vorgebe) größer wird?

Und natürlich ist mit meiner Umformung noch nichts bewiesen, aber diese Umformung kann hilfreich sein. Du könntest etwas zeigen, dass für $\begin{align*} m< n \end{align*}$ mit $\begin{align*} m,n\in\mathbb N \end{align*}$ stets $\begin{align*} \frac{1}{m+1}>\frac{1}{n+1}>0 \end{align*}$ ist (dafür ist ein Beweis erforderlich). Wenn du das gezeigt hast, könntest du mir mal Gedanken machen, ob du dann etwas über $\begin{align*} 1-\frac{1}{m+1} \end{align*}$ und $\begin{align*} 1-\frac{1}{n+1} \end{align*}$ aussagen kannst.

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