Supremum und Minimum

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Martell Auf diesen Beitrag antworten »
Supremum und Minimum
Meine Frage:
Die Aufgabe lautet wie folgt:

Sei nicht leer und nach oben beschränkt, und sei

Zeigen Sie, dass SupA = min A'

Ich weiß nicht genau wie ich das beweisen soll
Kann mir da einer weiter helfen ?

Meine Ideen:
Da hier explizit Supremum gesagt wird gehe ich davon aus, dass das Supremum C von A nicht Element von A ist weil es ja sonst ein Maximum wäre

und bei A' wird von Minimum geredet also ist das Supremum C von A Element von A' und zwar das Minimum also die kleinste Zahl in dieser Menge

jedoch weiß ich nicht wie ich das beweisen soll weil ich zu wenige Informationen von den Mengen habe...
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Supremum und Minimum
Zitat:
Original von Martell
Da hier explizit Supremum gesagt wird gehe ich davon aus, dass das Supremum C von A nicht Element von A ist weil es ja sonst ein Maximum wäre

Davon kannst du nicht ausgehen. Es wird nirgendwo gesagt, dass das Supremum von nicht in enthalten ist. Allerdings ist das für diese Aufgabe völlig irrelevant.

Zuerst musst du zeigen, dass ein Minimum besitzt (d.h. dass ein Infimum existiert und dieses in enthalten ist).
Dann zeigst du, dass ; und zum Schluss (z.B. mit einem Widerspruchsbeweis), dass nicht sein kann.
Martell Auf diesen Beitrag antworten »

ok danke schonmal für den Ansatz smile

Aber bisher hatte ich bei der supremumbestimmung immer eine Funktion gegeben wie mache ich das denn hier ohne nähere Informationen über die Funktion der Menge ?
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Hier hast du überhaupt keine Funktion; du sollst das Supremum einer Menge bestimmen.

Und irgendwo müsst ihr doch definiert haben, was das Supremum einer Menge ist. verwirrt
Martell Auf diesen Beitrag antworten »

Ja schon dafür haben wir ja Supremumaxiom aber das gilt ja nur allgemein
Wenn ich angebe, dass C<x dann hab ich ja ein Supremum angegeben aber eher undefiniert
Wie beziehe ich das denn auf A' wenn ich nur Weiß dass C = minA' ist
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Was soll denn sein?

Das Supremumsaxiom sagt nur, dass jede beschränkte nichtleere Teilmenge der reellen Zahlen ein Supremum besitzt; aber es definiert nicht, was ein Supremum überhaupt ist:

Das Supremum einer Menge ist die kleinste obere Schranke (und analog das Infimum die größte untere Schranke).
 
 
Martell Auf diesen Beitrag antworten »

genau aber mit dem Axiom kann ich ja nur arbeiten wenn ich mehr Informationen über die Menge gegeben habe..
Irgendwie versteh ich die Aufgabe nicht ganz unglücklich
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast alle Informationen, die du brauchst.

Vielleicht hilft es, wenn du dir mal für ein paar konkrete Beispiele von überlegst, wie aussieht.
Z.B. oder . Wie würde da jeweils die Menge aussehen?
Martell Auf diesen Beitrag antworten »

Das müsste sein
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Für stimmt das.
Wie sieht es mit aus?

Jetzt wieder zu allgemeinen :
Du kannst dir jetzt hoffentlich besser vorstellen, wie die Menge aussieht; damit kannst du nochmal versuchen, die Aussagen zu zeigen, die in meiner ersten Antwort stehen. Fangen wir mal mit dem Infimum an: Warum besitzt ein Infimum?
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