Bild und Urbild einer Abbildung bestimmen

01.11.2015, 18:30

Julius95

Bild und Urbild einer Abbildung bestimmen

Guten Abend,
bin gerade dabei meine Übungsblätter zu machen und bin mir bei der Aufgabe zu Bild und Urbild noch etwas unsicher, vielleicht kann ja mal jemand drüber schauen.

Aufgabe: [attach]39593[/attach]

Meine Lösungen:
a) $\begin{eqnarray*} f(A)=\{1,2\} f^{-1}(B)=\{2\} \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} f(A)=-\mathbb{Z} f^{-1}(B)=\emptyset \end{eqnarray*}$

c) $\begin{eqnarray*} f(A)=\{ 0^{2}, 2^{2} \} = \{0,4\} f^{-1}(B)=\{1^{2} \} = \{1\} \end{eqnarray*}$

d) $\begin{eqnarray*} f(A)=\{ 2*1-3, 2*2-3 \} = \{-2,1\} f^{-1}(B)=\emptyset \end{eqnarray*}$

e) $\begin{eqnarray*} f(A)=\{ (0-1),(1-0) \} =\{ -1,2 \} f^{-1}(B)=\emptyset \end{eqnarray*}$ Bei dieser Teilaufgabe bin ich mir besonders unsicher, muss ich vorher quadrieren, oder muss ich am Ende nur hoch zwei nach der Klammer setzten? Und wie ist das bei B, weil da ja kein Paar angegeben ist, stimmt das dann mit der leeren Menge als Lösung?

Ich weiß es ist recht viel, würde mich aber trotzdem sehr über Hilfe freuen, danke! :-)

01.11.2015, 18:43

Magix

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Guten Abend Julius95,

ich habe teilweise die gleichen, teilweise aber leider auch andere Ergebnisse. Wenn wir beispielsweise uns die Teilaufgabe a) ansehen, dann bin ich nicht mit $\begin{align*} f_1^{-1}(B_1)=\{2\} \end{align*}$ einverstanden. Da fehlt dir ein Element aus dem Definitionsbereich von $\begin{align*} f_1 \end{align*}$ .

01.11.2015, 18:45

Julius95

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Hey, da B nur gerade Elemente enthält und die 4 nicht in A enthalten ist, müsste das doch richtig sein, oder irre ich mich?

01.11.2015, 18:49

Magix

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A ist nicht der Definitionsbereich von $\begin{align*} f_1 \end{align*}$ . Schau dir die Definition von $\begin{align*} f_1 \end{align*}$ einmal an, da steht

$\begin{align*} f_1:\{1,2,3,4\}\rightarrow \mathbb N \end{align*}$

01.11.2015, 18:56

Julius95

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Okay, hatte die Definition der Urbildmenge wohl falsch verstanden, dachte die Elemente müssten mit der Definitionsmenge und den Angaben von A übereinstimmen.
Dann wäre die Lösung natürlich $\begin{eqnarray*} f^{-1}=\{1,4\} \end{eqnarray*}$

01.11.2015, 18:59

Julius95

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Bei d) würde dann auch $\begin{eqnarray*} f^{-1}=\{27\} \end{eqnarray*}$ rauskommen, oder?

01.11.2015, 19:05

Magix

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Lass uns mal die Probe machen:

$\begin{align*} f_4(27) = 2\cdot 27-3=51\notin B_4 \end{align*}$

Die 27 ist also nicht im Urbild.

(Ausserdem ist die Lösung eher $\begin{align*} f_1^{-1}(B_1)=\{2,4\} \end{align*}$ . Ich vermute stark, dass du im ersten Semester bist und rate dir ordentlich zu arbeiten.)

01.11.2015, 19:11

Julius95

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Bei der vorherigen Lösung hatte ich mich nur vertippt mit der 2.

Und bei d) wäre die richtige Lösung dann $\begin{eqnarray*} f^{-1}=\{9\} \end{eqnarray*}$

01.11.2015, 19:16

Julius95

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Bei c) wäre dann auch $\begin{eqnarray*} f(A)=\{2;2,5 \} \end{eqnarray*}$

01.11.2015, 19:20

Magix

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Nein. Mit $\begin{align*} f_4^{-1}(B_4)=\{9\} \end{align*}$ wäre ich aber einverstanden.

Bei der b) kannst du dir Gedanken machen, wie man $\begin{align*} -\mathbb Z \end{align*}$ noch etwas vereinfachen kann.

bei der c) fehlt mir bei $\begin{align*} f_3(A_3) \end{align*}$ wieder ein Element. Bei $\begin{align*} f_3^{-1}(B_3) \end{align*}$ hingegen fehlen einige mehr.

Edit:

Zitat:

Original von Julius95
Bei c) wäre dann auch $\begin{eqnarray*} f(A)=\{2;2,5 \} \end{eqnarray*}$

Das musst du mir genauer erklären.

01.11.2015, 19:36

Julius95

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Also bei b) kann man ja $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_{-} \end{eqnarray*}$ schreiben, aber das wäre ja das gleich oder?

Zu c) $\begin{eqnarray*} f(A)=\{-1,0,4\} \end{eqnarray*}$
Aber das Urbild müsste doch stimmen, denn 4^2 und 9^2 liegen beide nicht im Definitionsbereich.

Und das letzte war nicht auf c) sondern auf f(A) von d) bezogen, sorry!

01.11.2015, 19:47

Magix

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Zitat:

Original von Julius95
Also bei b) kann man ja $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_{-} \end{eqnarray*}$ schreiben, aber das wäre ja das gleich oder?

Kannst du mir ein paar Zahlen aus dieser Menge aufschreiben?

Zitat:

Original von Julius95
Zu c) $\begin{eqnarray*} f(A)=\{-1,0,4\} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Julius95
Aber das Urbild müsste doch stimmen, denn 4^2 und 9^2 liegen beide nicht im Definitionsbereich.

Tatsächlich liegen $\begin{align*} 4^2 \end{align*}$ und $\begin{align*} 9^2 \end{align*}$ nicht im Definitionsbereich. Aber danach ist nicht gefragt verwirrt

Welche Elemente aus dem Definitionsbereich von $\begin{align*} f_3 \end{align*}$ kannst du in die Funktion einsetzen um 1, 4 oder 9 zu erhalten?

Zitat:

Original von Julius95
Und das letzte war nicht auf c) sondern auf f(A) von d) bezogen, sorry!

Selbst für die d) macht deine Lösung da keinen Sinn für mich. Was macht das Semikolon dort, und wie kommst du bei der Rechnung $\begin{align*} 1-0 \end{align*}$ und $\begin{align*} 0-1 \end{align*}$ auf 2 und 2.5?

01.11.2015, 20:02

Julius95

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Zu b) z.B $\begin{eqnarray*} \{-3,-2-1\} \end{eqnarray*}$ , könnte man da eigentlich auch $\begin{eqnarray*} \{n,...,-3,-2,-1 \} \end{eqnarray*}$ hinschreiben?

Zu c) das wäre dann $\begin{eqnarray*} f(A)=\{1,2,3\} \end{eqnarray*}$

Zu d) die Paare (0,1) und (1,0) gehören zu f.
Könnte anstatt dem Semikolon auch $\begin{eqnarray*} f(A)=\{2,\frac{5}{2} \} \end{eqnarray*}$ schreiben.

02.11.2015, 10:05

Magix

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Guten Morgen Julius95

Zitat:

Original von Julius95
Zu b) z.B $\begin{eqnarray*} \{-3,-2-1\} \end{eqnarray*}$ , könnte man da eigentlich auch $\begin{eqnarray*} \{n,...,-3,-2,-1 \} \end{eqnarray*}$ hinschreiben?

Was ist denn mit $\begin{align*} f_2(-1)=-(-1)=1 \end{align*}$ ? Wenn du alle ganzen Zahlen einmal eingesetzt hast, dann bekommst du jeweils die Inverse bezüglich der Addition. Ich sag dir einfach mal was ich meinte und du machst dir dann Gedanken, warum das so ist: $\begin{align*} f_2(\mathbb Z )= \end{align*}$ $\begin{align*} -\mathbb Z = \mathbb Z \end{align*}$

Zitat:

Original von Julius95
Zu c) das wäre dann $\begin{eqnarray*} f(A)=\{1,2,3\} \end{eqnarray*}$

$\begin{align*} f_3(1)=1^2=1 \end{align*}$
$\begin{align*} f_3(2)=2^2=4 \end{align*}$
$\begin{align*} f_3(3)=3^2=9 \end{align*}$
Sieht schonmal gut aus. Was ist mit den anderen Möglichkeiten?

$\begin{align*} f_3(0)=0 \end{align*}$
0 ist somit nicht im Urbild.

$\begin{align*} f_3(-1)=(-1)^2=1 \end{align*}$
-1 ist also im Urbild. Dir fehlt also ein Element.

Zitat:

Original von Julius95
Zu d) die Paare (0,1) und (1,0) gehören zu f.
Könnte anstatt dem Semikolon auch $\begin{eqnarray*} f(A)=\{2,\frac{5}{2} \} \end{eqnarray*}$ schreiben.

Wie kommst du auf $\begin{align*} 2 \end{align*}$ und $\begin{align*} 5\over 2 \end{align*}$ ? Wie rechnest du?

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