Taylorreihe - Lösungskontrolle

01.11.2015, 18:55	Seff	Auf diesen Beitrag antworten »
Taylorreihe - Lösungskontrolle Hallo, ich bin noch neu beim Thema Taylorreihen, deswegen würde ich euch bitten meine Lösung und Lösungsweg kurz zu kontrollieren. Aufgabe: Berechnen der Taylorreihe und den Konvergenzradius für die folgende Funktion am Entwicklungspunkt x0. Funktion: ln(x); Entwicklungspunkt: x0 = 2; Lösung: Zuerst suche ich die k-te Ableitung der Funktion: $\begin{eqnarray} f\left(x\right)= ln\left(x\right) <br/> f'\left(x\right) = \frac{1}{x} = x^{-1} <br /> f'\left(x\right) = -x^{-2} <br /> f^{\left(k\right)}\left(x\right) = \left(-1\right)^{k+1}\left(k-1\right)!\left(x\right)^{k} <br /> \text{Jetzt das X0 = 2 einsetzen} <br /> \Rightarrow f^{\left(k\right)}\left(2\right) = \left(-1\right)^{k+1}\left(k-1\right)!\left(2\right)^{k} <br /> \end{eqnarray}$ (Übrigens: gibt es eine möglichkeit die k-te ableitung bei Wolfram Alpha berechnen zu lassen? Würde mir die Kontrolle erleichtern) Das ganze setze ich in die Summe für Taylor Reihen ein: $\begin{eqnarray} \Rightarrow f\left(x\right)= \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{ \left(-1\right)^{k+1}\left(k-1\right)!\left(x-2\right)^{k}}{2^{k} k!}<br /> = \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{ \left(-1\right)^{k+1}\left(x-2\right)^{k}}{2^{k} k} \end{eqnarray}$ Nun schaue ich mir den Konvergenzradius dieser Potenzreihe an: $\begin{eqnarray} x_{0} = 2 <br /> a_{k} = \frac{\left(-1\right)^{k+1}}{k 2^{k}} \end{eqnarray}$ die berrechnung des Konvergenzradius r lass ich hier mal der einfachkeit wegen weg, denke das sollte ich drauf haben r = 2; auch die rechnung in den randpunkte überspringe ich: x1 = 0 : Reihe divergent x2 = 4 : Rheihe konvergent DIe Taylorreihe konvergiert also bei dem Entwicklungspunkt x0 = 2 bei 0 < x <= 4 Vielen Dank an denjenigen dersich die Mühe macht
02.11.2015, 10:10	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
In der Taylorreihe fehlt das Glied für $\begin{align} k=0 \end{align}$ . Ansonsten stimmt das Ergebnis. Auf dem Weg zum Ergebnis hast du allerdings ein paar Schreibfehler drin (Ordnung der Ableitung, Vorzeichen im Exponenten).
03.11.2015, 16:35	Seff	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke Die Fehler hab ich tatsächlich beim abtippen gemacht. Das mit dem K=0 Glied macht mir noch sorgen. Ich hatte es aus "Sicherheitsgründen" weg gelassen, denn nach der vereinfachung steht ja $\begin{eqnarray} 2^{k}k \end{eqnarray}$ im Nenner, und dadurch wäre der bruch bei k=0 nicht mehr definiert... Wie macht man denn dann sowas? Das K=0 glied vorher aus der Summer herausziehen und dann erst vereinfachen?
03.11.2015, 18:24	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
der nullte Summand ist ja f(2) selbst und ist dies nach Definition. Die eigentlichen Ableitungen starten mit k=1

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