Komplexe Zahlen

01.11.2015, 19:02

rosa4ka

Komplexe Zahlen

Meine Frage:
Wir sollen Nullstellen bestimmen von z^3 + 2z^2 + z +2 =0

Meine Ideen:
Ich habe $\begin{eqnarray*} z^2 +3z+4 \end{eqnarray*}$
Das ist aber irgendwie falsch...

das ist mein Rechenweg

$\begin{eqnarray*} z^3+ 2z + z +2 : (z-1) = z^2+3z+4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{-(z^3-z^2)}{3z^2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{-(3z^2-3z)}{0+4z} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{-(4z-4)}{0+6} \end{eqnarray*}$

ich habe da irgendwo was falsch gemacht..
habe paar mal gerechnet und komme nicht drauf.

01.11.2015, 19:12

Elvis

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Man sieht sofort und ohne Division, schlicht durch Einsetzen, dass 1 keine Nullstelle des kubischen Polynoms ist. Bei der Division bleibt ja auch der Rest 6 übrig.

05.11.2015, 14:03

rosa4ka

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also uns waren folgende Aufgaben gegeben
$\begin{eqnarray*} z^3 + 2z^2 +z +2 = 0 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} z^3-7z^2+19z-13=0 \end{eqnarray*}$

Zu der ersten Aufgabe habe ich folgendes raus :

Gleichung : $\begin{eqnarray*} z^2+1 \end{eqnarray*}$
dann : $\begin{eqnarray*} z=i \end{eqnarray*}$

Zu der zweiten Aufgabe habe ich folgendes raus :
Gleichung: $\begin{eqnarray*} z^2-6z+13 \end{eqnarray*}$

dann:

$\begin{eqnarray*} z1 = 3+4i \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z2 = 3-4i \end{eqnarray*}$

das letztere ist scheinbar nicht ganz richtig.

05.11.2015, 15:17

Elvis

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Gauß um 1800: jede kubische komplexe Gleichung hat genau 3 komplexe Nullstellen.

05.11.2015, 21:57

mYthos

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Zitat:

Original von Elvis
Gauß um 1800: jede kubische komplexe Gleichung hat genau 3 komplexe Nullstellen.

Das trifft nur dann zu, wenn die Koeffizienten komplex sind.
Die Gleichung in der Aufgabenstellung hat eine reelle und 2 komplexe Lösungen.
----------------

@rosa4k
Wenn du eine (ganzahlige) Lösung erraten willst, so kann diese nur ein Teiler von 2 sein, weil die Gleichung normiert ist (der Koeffizient von $\begin{eqnarray*} z^3 \end{eqnarray*}$ ist 1)
+1 und -1 scheiden aus, das siehst du schnell beim Einsetzen, aber was ist mit +2 oder -2?

Du kannst zur Probe die erratene Lösung sogleich einsetzen, die Gleichung muss dann eine Identität (wahre Aussage) liefern.
Bei der Polynomdivision darf KEIN Rest bleiben (Rest 0)

Zur 2. Gleichung

$\begin{eqnarray*} z^3-7z^2+19z-13=0 \end{eqnarray*}$

Hier könntest du mit 1 als erste Lösung Erfolg haben ...

mY+

06.11.2015, 09:24

Elvis

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@mYthos:
Eine "kubische komplexe Gleichung" heißt "komplexe Gleichung", weil sie komplexe Koeffizienten hat. Reelle Koeffizienten oder Nullstellen sind wegen $\begin{eqnarray*} \mathbb R \subset \mathbb C \end{eqnarray*}$ auch komplex. Augenzwinkern

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