Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten

01.11.2015, 21:19	mariem	Auf diesen Beitrag antworten »
Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten Hallo, ich will zeigen dass in den Ring $\begin{eqnarray} \mathbb{C}[z, e^{\lambda z} \mid \lambda \in \mathbb{C}] \end{eqnarray}$ jede lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten eine Lösung hat, die sich in diesen Ring befindet. Jedes Element von $\begin{eqnarray} \mathbb{C}[z, e^{\lambda z} \mid \lambda \in \mathbb{C}] \end{eqnarray}$ ist in der Form $\begin{eqnarray} \displaystyle{\sum_{k=1}^n \alpha_kz^{d_k}e^{\beta_k z}} \end{eqnarray}$ . Eine Differentialgleichung in diesen Ring ist in der Form $\begin{eqnarray} \displaystyle{Ly = \sum_{k=0}^m \alpha_k y^{(k)}(z)=\sum_{l=1}^n C_lz^{d_l} e^{\beta_l z} , \ \ \alpha_k , \beta_l \in \mathbb{C}} \ \ \ \ () \end{eqnarray}$ Bei den Differentialgleichungen kann man den Superpositionsprinzip anwenden. Das heisst dass man das Problem $\begin{eqnarray} () \end{eqnarray}$ in den folgenden Teilprobleme teilt $\begin{eqnarray} Ly(z)=0, \ \ Ly(z)=C_lz^{d_l} e^{\beta_l z}, \ \ l=1, 2, \dots , n \end{eqnarray}$ also in eine homogene und $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ inhomogene Gleichungen. Wir lösen diese Gleichungen und addieren die Lösung der homogene Gleichung $\begin{eqnarray} y_{H}(z) \end{eqnarray}$ und die Lösungen der $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ inhomogene Gleichungen $\begin{eqnarray} y_{p_i}(z) \end{eqnarray}$ . Also bekommen wir die generelle Lösung der Gleichung $\begin{eqnarray} () \end{eqnarray}$ , die die folgende ist $\begin{eqnarray} \displaystyle{y(z)=y_{H}(z)+\sum_{l=1}^n y_{p_i}(z)} \end{eqnarray}$ . Um die homogene Gleichung $\begin{eqnarray} \displaystyle{\sum_{k=0}^m \alpha_k y^{(k)}(z)=0} \end{eqnarray}$ zu lösen, finden wir die Charakteristische Gleichung und die Eigenwerte $\begin{eqnarray} \lambda_1, \dots , \lambda_m \end{eqnarray}$ . - Wenn $\begin{eqnarray} \lambda_1, \dots , \lambda_m \end{eqnarray}$ Eigenwerte mit Multiplizität $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ sind, dann ist die Lösung von $\begin{eqnarray} Ly(z)=0 \end{eqnarray}$ die folgende $\begin{eqnarray} \displaystyle{y_{H}(z)=\sum_{i=1}^m c_i e^{\lambda_i z}}. \end{eqnarray}$ - Wenn $\begin{eqnarray} \lambda_i \end{eqnarray}$ ein Eigenwert mit Multiplizität $\begin{eqnarray} M>1 \end{eqnarray}$ ist, dann sind die folgende linear unabhängige Lösungen von $\begin{eqnarray} Ly(z)=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \displaystyle{e^{\lambda_i z}, ze^{\lambda_i z}, z^2e^{\lambda_i z}, \dots , z^{M-1}e^{\lambda_i z}} \end{eqnarray}$ . Um die Gleichung $\begin{eqnarray} \displaystyle{\sum_{k=0}^m \alpha_k y^{(k)}(z)=C_lz^{d_l} e^{\beta_l z}} \ \ \ \ \ (*) \end{eqnarray}$ zu lösen, machen wir folgendes: - Wenn $\begin{eqnarray} \beta_l \end{eqnarray}$ nicht eins der Eigenwerte ist: Wir behaupten dass die Lösung in den Ring $\begin{eqnarray} \mathbb{C}[z, e^{\lambda z} \mid \lambda \in \mathbb{C}] \end{eqnarray}$ ist, also ist die in der Form $\begin{eqnarray} y(z)=e^{\beta_l z} x(z) \end{eqnarray}$ . Also $\begin{eqnarray} \displaystyle{y^{(k)}(z)=\sum_{j=0}^k \binom{k}{j}\beta_l^j e^{\beta_l z}x^{(k-j)}(z)} \end{eqnarray}$ . Wenn wir das in der $\begin{eqnarray} () \end{eqnarray}$ einsetzen bekommen wir die folgende Gleichung, dessen Ordnung die gleiche ist wie die Ordnung der $\begin{eqnarray} () \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \displaystyle{\sum_{k=0}^m \beta_k x^{(k)}(z)=C_lz^{d_l}} \end{eqnarray}$ . Die Lösung der oben ernannte Gleichung wird ein Polynom sein. Der erste Term $\begin{eqnarray} \beta_k \end{eqnarray}$ der ungleich Null ist, bestimmt den Grad von $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ . Zum Beispiel wenn $\begin{eqnarray} \beta_0 \neq 0 \end{eqnarray}$ dann ist der Grad der Lösung maximal $\begin{eqnarray} l \end{eqnarray}$ , und die Lösung ist in der Form $\begin{eqnarray} x(z)=\gamma_l z^l +\dots +\gamma_0 \end{eqnarray}$ . Dann $\begin{eqnarray} x'(z)=l\gamma_l z^{l-1}+\dots +\gamma_1 \\ \dots \\ x^{(l)}(z)=l!\gamma_l \end{eqnarray}$ Dann $\begin{eqnarray} \displaystyle{\sum_{k=0}^m \beta_k x^{(k)}(z)=C_lz^{d_l} \Rightarrow \beta_o\gamma_kz^{d_l}+(\beta_0\gamma_{l-1}+l\gamma_la_1)z^{d_l-1}+ \dots =C_lz^{d_l}} \end{eqnarray}$ Also muss folgendes gelten: $\begin{eqnarray} \beta_0\gamma_l=C_l \Rightarrow \gamma_l=\frac{C_l}{\beta_0} \\ \beta_0\gamma_{l-1}+l\gamma_la_1=0 \\ \dots \end{eqnarray}$ Also um die Differentialgleichung zu lösen muss man den oben ernannten System lösen. Man kann diesen System in Matrizen schreiben. Kann man sicher sein dass man eine einzige Lösung findet? In diesen Ring ist die Anzahl der Lösungen gleich die Ordnung, richtig? Wie kann man das begründen? - Wenn $\begin{eqnarray} \beta_l \end{eqnarray}$ eins der Eigenwerte $\begin{eqnarray} \lambda_i \end{eqnarray}$ , und die Multiplizität von $\begin{eqnarray} \lambda_i \ \ L \end{eqnarray}$ ist: Wir behaupten dass die Lösung in den Ring $\begin{eqnarray} \mathbb{C}[z, e^{\lambda z} \mid \lambda \in \mathbb{C}] \end{eqnarray}$ ist, also ist die in der Form $\begin{eqnarray} \displaystyle{y(z)=z^L e^{\beta_l z} x(z)=e^{\beta_l z}\tilde{x}(z)} \end{eqnarray}$ und wir machen weiter wie in den vorherigen Fall. Ist alles richtig? P.S. Ich habe diese Frage auch in matheplanet.de und in vorhilfe.de gestellt.

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