Isomorphie einer Gruppe zu einer Untergruppe von S_8

01.11.2015, 22:30

YouMakeMeCrazy

Isomorphie einer Gruppe zu einer Untergruppe von S_8

Meine Frage:
Hallo liebe Community,
es geht um folgende Aufgabe:

G ist einfach und |G|=168

1) G ist isomporh zu einer Untergruppe von S_8
2) G hat keine Elemente der Ordnung 14 oder 21
3) Zeigen Sie, dass es eine nicht-zyklische Gruppe der Ordnung 21 gibt, die genau 7 Untergruppen der Ordnung 3 hat.

Meine Ideen:
Ich habe zuvor schon einmal mit dieser Gruppe gearbeitet und da gezeigt, dass es 8 Sylow 7-Untergruppen gibt, deren Normalteiler die Ordnung 21 haben. Desweiteren habe ich gezeigt, dass G auch genau 28 Sylow 3-Untergruppen hat, deren Normalisatoren die Ordnung 6 haben und das der Normalisator von jeder Sylow 7-Untergruppe genau 7 Sylow 3-Untergruppen hat.

Jedoch bei den oben genannten Aufgaben bin ich einerseits überfragt wie ich ran gehen soll, ich habe das Gefühl das die Aufgabe 2 recht "einfach" ist, wenn man weiß wie man ran gehen muss.

Und bei der ersten scheitert es komplett.
Ich hoffe es hat jemand von euch Ratschläge und kann mir helfen.

03.11.2015, 07:59

Automizer

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Hallo,

1) Sei $\begin{eqnarray*} P_7 \le G \end{eqnarray*}$ eine 7-Sylow-Gruppe von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ . Dann operiert $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ durch Konjgation auf der Menge $\begin{eqnarray*} P_7^G:=\{P_7^g \mid g \in G \} \end{eqnarray*}$ aller Konjugierten zu $\begin{eqnarray*} P_7 \end{eqnarray*}$ , was gleichzeitig auch die Menge aller 7-Sylow-Gruppen von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ ist. Warum?
Also existiert ein Homomorphismus $\begin{eqnarray*} \varphi \colon G \longrightarrow S_{|P_7^G|}=S_{|G:N_G(P_7)|}=S_8 \end{eqnarray*}$ . Warum ist

$\begin{eqnarray*} |P_7^G|=|G:N_G(P_7)|=8 \end{eqnarray*}$ ?

Untersuche den Kern genauer, da er dir die gewünschte Einbettung liefert.

2) Da $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ sich in $\begin{eqnarray*} S_8 \end{eqnarray*}$ einbetten lässt, überlege dir wann Permutationen Ordnung 14 oder 21 haben. (Hint: Jede Permutation lässt sich als Produkt disjunkter Zykel schreiben).

3) Meinst du hier eine nicht zyklische Untergruppe von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ oder allgemein.

LG

03.11.2015, 16:09

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Automizer
Hallo,

1) Sei $\begin{eqnarray*} P_7 \le G \end{eqnarray*}$ eine 7-Sylow-Gruppe von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ . Dann operiert $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ durch Konjgation auf der Menge $\begin{eqnarray*} P_7^G:=\{P_7^g \mid g \in G \} \end{eqnarray*}$ aller Konjugierten zu $\begin{eqnarray*} P_7 \end{eqnarray*}$ , was gleichzeitig auch die Menge aller 7-Sylow-Gruppen von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ ist. Warum?
Also existiert ein Homomorphismus $\begin{eqnarray*} \varphi \colon G \longrightarrow S_{|P_7^G|}=S_{|G:N_G(P_7)|}=S_8 \end{eqnarray*}$ . Warum ist

$\begin{eqnarray*} |P_7^G|=|G:N_G(P_7)|=8 \end{eqnarray*}$ ?

Untersuche den Kern genauer, da er dir die gewünschte Einbettung liefert.

Ich denke, dass die wesentlichen Teile mit dem TE hier schon geklärt wurden.

04.11.2015, 11:06

YouMakeMeCrazy

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Hallo Automizer und RavenOnJ,
den Link von Raven und den Hinweis von Automizer werde ich mir gleich noch mal in Ruhe ansehen und durchgehen, wie auch die 2).

Zur 3)
Es geht da allgemein um eine Gruppe der Ordnung 21, die nichts mit der Gruppe G mit der Ordnung 168 zu tun hat.

Klar ist ja, dass es nach den Sätzen von Sylow, 3-Sylows gibt.
Die Anzahl der 3-Sylows n_3, kann man dank den Sylowschen Sätzen soweit eingrenzen, dass nur noch n_3 Element {1,7} sein muss.
Nun scheitert es bei mir eben daran, zu zeigen, dass n_3=7 sein muss.

04.11.2015, 12:38

Automizer

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Sylow sagt,

$\begin{eqnarray*} n_p=1 \Longleftrightarrow P_p \triangleleft G \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} P_p \end{eqnarray*}$ eine p-Sylow-Gruppe ist.
Wenn nicht klar, dann beweisen (Hint: alle p-Sylow-Gruppen sind zueinander konjugiert)

zu 3) ich könnt bisher nur sagen, warum $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ eine Untergruppe mit dieser Eigenschaft hat. Vielleicht hat RavenOnJ noch ein Tipp.

LG

04.11.2015, 15:59

YouMakeMeCrazy

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Hey

Aufgabe 1 und 3 habe ich nun mit Mitkommilitonen heute erfolgreich gelöst, wenn auch mit sehr großem Nervenverlust Big Laugh

Bei der Aufgabe zwei hingegen sieht es nach wie vor ein wenig leer aus.
Wir haben dann mal google befragt, auf englisch und etwas gefunden, dazu jedoch viele Fragen.

http://math.ucdenver.edu/~tvis/Coursework/Fano.pdf

Unter Punkt "Proposition 2.6"

Wieso kann man sagen bzw weiß man, dass x^2 Element von Syl_7(G) ist? Kann das vllt einer von euch verstehen und erklären?

04.11.2015, 17:22

ollie3

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Hallo,
Habe den thread seit gestern mitverfolgt und geschmunzelt Big Laugh

Die letzte Frage kann ich dir/euch beantworten:
Wenn ein element in einer Gruppe die ordnung 14 hat, muss es in
Der Gruppe auch elemente der Ordnung 7 geben, denn aus x^14=1
Folgt (x^2)^7=1. So kommt man zu der 7-sylowgruppe. Augenzwinkern

Grüße ollie3

04.11.2015, 18:55

Automizer

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zu 2) nochmal

Wenn ich eine Permutaion $\begin{eqnarray*} \pi \in S_8 \end{eqnarray*}$ als Produkt von disjunkten Zykeln darstellen kann und für ein Zykel $\begin{eqnarray*} (a_1,\ldots, a_n) \in S_8 \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} |(a_1,\ldots, a_n)|=n \end{eqnarray*}$ , folgt mit $\begin{eqnarray*} z_i=(a_{i_1}, \ldots , a_{n_i}) \in S_8 \end{eqnarray*}$ und einer gewissen Indexmenge $\begin{eqnarray*} I=\{1,\ldots ,m \} \subset \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} a_{k_i}\neq a_{l_j} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} i,j \in I \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} k_i,l_i \le n_i \in \{1, \ldots,8\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |\pi| =\left |\prod_{z_i \in I} z_i\right|=\textrm{kgV}(|z_1|,\ldots, |z_m|) \end{eqnarray*}$

Da aber $\begin{eqnarray*} 14=2 \cdot 7 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 21=3 \cdot 7 \end{eqnarray*}$ , kann ich zum Einen kein disjunktes Paar 2er und 7er Zykel finden sowie keine disjunktes Paar 3er und 7 er Zykel. Zum ANderen gibt es in $\begin{eqnarray*} S_8 \end{eqnarray*}$ nur maximal 8er Zykel. Daher kann kein Element diese Ordnung haben.

Warum man jedoch $\begin{eqnarray*} |x|=14 \end{eqnarray*}$ ausschließen muss, um zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} N_G(P_7) \end{eqnarray*}$ die gewünschte Untergruppe liefert, weiß ich nicht.
Außerdem ist mir schleierhaft, warum man folgern kann, dass es eine allgemeine Gruppe mit diesen Eigenschaften gibt. Ok, nach Voraussetzung existiert ein $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ mit Ordnung 168. Ist das hier aber auch so gemeint?

LG

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