Mengen Ausssagen (Wahr/Falsch)

02.11.2015, 08:14	XFlorian	Auf diesen Beitrag antworten »
Mengen Ausssagen (Wahr/Falsch) Ich hoffe ich bin im richtigen Forum gelandet. Anbei ein paar Mengen Aufgaben, bei der festzustellen ist, ob diese Aussagen wahr oder falsch sind. Meinen Lösungsversuch habe ich hinter dem jeweiligen // geschrieben. Bei einigen Mengen komme ich aber nicht weiter. Manche Begründungen sind auch nicht ganz einfach. Vielen Dank für eure Hilfe! Wahr oder falsch mit Begründung! O Teilmenge von O ->falsch, da keine Menge vorhanden {O} Teilmenge von O ->falsch, da eine Menge auf ein Element abgebildet wird. {1,3} e {1,2,{3,4} = falsch ->wahr, da {1,3} nicht in Menge enthalten ist {1,2} e {1,2,{3,4} = wahr ->wahr, {1,2} ist enthalten A u (A u B) = A u B ->wahr, da A u A =A (Idempotenz) {Ø} ∩ Ø = {Ø} ->??? {Ø} € Ø ->Wahr, da leere Menge leer enthält 1 C {{1},2} ->falsch, da 1 nicht in Menge enthalten ist {3,{4}} € {1,2,{3,4}} ->??? {3,4} C {1,2,3,{3,4}} ->wahr, da {3,4} in der Menge enthalten ist
02.11.2015, 11:26	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Bitte benutze LATEX (hier: "Formeleditor" und "f(x)"), sonst bekommst Du keine Antworten auf deine unlesbaren Fragen.
02.11.2015, 12:02	XFlorian	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} <br /> O \subset O ->falsch, da keine Menge vorhanden <br /> {O} \subset Teilmenge von O ->falsch, da eine Menge auf ein Element abgebildet wird. <br /> {1,3} \in {1,2,{3,4} = falsch ->wahr, da {1,3} nicht in Menge enthalten ist <br /> {1,2} \in {1,2,{3,4} = wahr ->wahr, {1,2} ist enthalten <br /> A \cup (A \cup B) = A \cup B ->wahr, da A \cup A =A (Idempotenz) <br /> {Ø} \cup Ø = {Ø} ->???<br /> {Ø} \in Ø ->Wahr, da leere Menge leer enthält <br /> 1 \subset {{1},2} ->falsch, da 1 nicht in Menge enthalten ist <br /> {3,{4}} \in {1,2,{3,4}} ->???<br /> {3,4} \subset {1,2,3,{3,4}} ->wahr, da {3,4} in der Menge enthalten ist <br /> \end{eqnarray}$
02.11.2015, 12:08	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} xxx \end{eqnarray}$ , nicht <br/>xxx<br/>
02.11.2015, 12:09	XFlorian	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok ich kriegs nicht hin. Schade.
02.11.2015, 12:29	Hubert1965	Auf diesen Beitrag antworten »
Versuche dich mit Latex anzufreunden. Der Formeleditor, der unter dem Eingabefenster verlinkt ist, hilft dir dabei. 1. $\begin{eqnarray} O \subset O \end{eqnarray}$ Falls $\begin{eqnarray} O \end{eqnarray}$ eine Menge ist, ist das wahr, denn jede Menge ist eine Teilmenge von sich selbst. Falls $\begin{eqnarray} O \end{eqnarray}$ keine Menge ist, ist das falsch, denn um eine Teilmenge von irgendwas zu sein muss man erstmal eine Menge sein. Lieder liefert deine Angabe keinen Hinweis darauf, ob $\begin{eqnarray} O \end{eqnarray}$ eine Menge ist, daher ist es so, wie es da steht, nicht entscheidbar. 2. $\begin{eqnarray} \left\{O\right\} \subset O \end{eqnarray}$ Wenn $\begin{eqnarray} O \end{eqnarray}$ eine Menge ist, dann steht auf der linken Seite eine Menge, die als einziges Element die Menge $\begin{eqnarray} O \end{eqnarray}$ enthält, während rechts die Menge $\begin{eqnarray} O \end{eqnarray}$ steht, von der wir nicht wissen wieviele Elemente sie enthält, und welche Elemente das sind. Falls aber eines der Elemente der Menge $\begin{eqnarray} O \end{eqnarray}$ die Menge $\begin{eqnarray} O \end{eqnarray}$ selbst ist, dann ist es wahr, dass es eine Teilmenge von $\begin{eqnarray} O \end{eqnarray}$ gibt, die eine Menge ist, die als einziges Element $\begin{eqnarray} O \end{eqnarray}$ enthält. Falls also $\begin{eqnarray} O \end{eqnarray}$ eine Menge ist, ist unklar, ob diese Beziehung wahr oder falsch ist, solange offen bleibt, welche Elemente $\begin{eqnarray} O \end{eqnarray}$ enthält. Sollte $\begin{eqnarray} O \end{eqnarray}$ keine Menge sein, ist klar, dass diese Beziehung nicht zutrifft, aber die Angabe lässt leider offen, ob das der Fall ist. 3. $\begin{eqnarray} \left\{1,3\right\} \in \left\{1,2,\left\{3,4\right\}\right\} \end{eqnarray}$ Ich gehe davon aus, dass du einfach die zweite schließende Klammer auf der rechten Seite vergessen hast. Wenn das so ist, ist deine Vermutung richtig. Links steht eine Menge, die als Elemente die beiden Zahlen 1 und 3 besteht. Rechst steht eine Menge, die folgende Elemente enthält: Die Zahl 1 Die Zahl 2 Eine Menge, welche als Elemente die beiden Zahlen 3 und 4 enthält Die Menge $\begin{eqnarray} \left\{1,3\right\} \end{eqnarray}$ kommt in der Liste der Elemente der rechten Menge nicht als Element vor. Solltest du mit »e« nicht $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ sondern $\begin{eqnarray} \subset \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} \subseteq \end{eqnarray}$ gemeint haben, ist diese Beziehung trotzdem falsch, denn 3 ist kein Element der rechten Menge. 4. $\begin{eqnarray} \left\{1,2\right\} \in \left\{1,2,\left\{3,4\right\}\right\} \end{eqnarray}$ Wenn du, wie ich vermute, mit »e« $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ gemeint hast, dann trifft die Beziehung nicht zu, denn rechts steht dieselbe Menge wie im vorherigen Beispiel, und keines der drei Elemente dieser Menge ist die Menge $\begin{eqnarray} \left\{1,2\right\} \end{eqnarray}$ . Aber $\begin{eqnarray} \left\{1,2\right\} \end{eqnarray}$ ist eine echte Teilmenge (und somit auch eine Teilmenge) der rechten Menge, weil in der rechten Menge alle Elemente der linken Menge enthalten sind, und darüber hinaus sogar noch ein weiteres Element (was den Unterschied zwischen einer Teilmenge und einer echten Teilmenge ausmacht) Zur Sicherheit: $\begin{eqnarray} \left\{1,2\right\} \in \left\{1,2,\left\{3,4\right\}\right\} \end{eqnarray}$ falsch $\begin{eqnarray} \left\{1,2\right\} \subset \left\{1,2,\left\{3,4\right\}\right\} \end{eqnarray}$ wahr $\begin{eqnarray} \left\{1,2\right\} \subseteq \left\{1,2,\left\{3,4\right\}\right\} \end{eqnarray}$ wahr Und zum besseren Verständnis: $\begin{eqnarray} \left\{3,4\right\} \in \left\{1,2,\left\{3,4\right\}\right\} \end{eqnarray}$ wahr (die Menge, die aus dem Elementen 3 und 4 besteht, ist ein Element der rechten Menge) $\begin{eqnarray} \left\{3,4\right\} \subset \left\{1,2,\left\{3,4\right\}\right\} \end{eqnarray}$ falsch (die linke Menge enthält die Elemente 3 und 4, keine dieser Zahlen ist ein Element der rechten Menge, daher ist die linke Menge keine Teilmenge der rechten) $\begin{eqnarray} \left\{3,4\right\} \subseteq \left\{1,2,\left\{3,4\right\}\right\} \end{eqnarray}$ auch falsch (wenn es keine Teilmenge ist, kann es auch keine echte Teilmenge sein) 5. $\begin{eqnarray} A \cup \left(A \cup B \right) = A \cup B \end{eqnarray}$ Für Mengen und den Operator $\begin{eqnarray} \cup \end{eqnarray}$ gilt das Assoziativgesetz, also $\begin{eqnarray} A \cup \left(A \cup B \right) = A \cup A \cup B = \left(A \cup A \right) \cup B \end{eqnarray}$ Auf $\begin{eqnarray} \left(A \cup A \right) \end{eqnarray}$ trifft, wie du richtig erkannt hast, die Idempotenz zu, womit man den gesamten Ausdruck letzten Endes zu $\begin{eqnarray} A \cup B \end{eqnarray}$ vereinfachen kann. 6. Ich gehe davon aus, dass mit »∩« $\begin{eqnarray} \cap \end{eqnarray}$ gemeint ist. $\begin{eqnarray} \left\{ \emptyset \right\} \cap \emptyset = \left\{ \emptyset \right\} \end{eqnarray}$ Du bildest hier den Durchschnitt zweier Mengen. Das heißt, du pickst dir aus beiden Mengen alle Elemente heraus, die sowohl in der linken als auch in der rechten Menge vorkommen, und bildest aus diesen Gemeinsamen Elementen eine neue Menge. Nun enthält aber eine deiner beiden Quell-Mengen gar keine Elemente, denn es handelt sich dabei um die leere Menge. Also ist der Ergebnis dieser Operation eine Menge, die keine Elemente enthält, also wieder die leere Menge. Rechts vom Gleichheitszeichen steht aber eine Menge, die ein Element enhält (wobei dieses eine Element zufällig die leere Menge ist, was aber irrelevant ist). Also: Links vom Gleichheitszeichen: Eine Menge mit 0 Elementen. Rechts davon: Eine Menge mit 1 Element. Das ist etwas anderes, also nicht das Gleiche. Folglich: falsch. 7. $\begin{eqnarray} \left\{ \emptyset \right\} \in \emptyset \end{eqnarray}$ Rechts steht eine Menge, die keine Elemente enthält. Und links steht irgendetwas, das ein Element dieser völlig elementfreien Menge sein soll. Wie soll dieses Irgendwas (ganz egal worum es sich dabei konkret handelt) denn in einer Menge enthalten sein, die per Definition NICHTS enthält? Also: falsch. 8. Ich interpretiere »C« als $\begin{eqnarray} \subset \end{eqnarray}$ (Du solltest dich wirklich ein wenig mit Latex beschäftigen!) $\begin{eqnarray} 1 \subset \left\{ \left\{ 1 \right\},2 \right\} \end{eqnarray}$ Links steht eine Zahl, und die soll eine Teilmenge von irgendwas sein. Zahlen sind aber keine Mengen, folglich kann 1 auch keine Teilmenge sein, ganz egal was rechts vom Symbol $\begin{eqnarray} \subset \end{eqnarray}$ steht. Sollte das »C« jedoch für $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ stehen, muss man sich die rechte Seite schon ansehen, denn ein Element einer Menge kann alles sein, auch die Zahl 1. Aber, wie du richtig erkannt hast, enthält die rechte Menge zwei Elemente, wovon eines eine Menge ist, und das andere die Zahl 2. Die Zahl 1 ist mit keinem dieser beiden Elemente identisch, also ist 1 kein Element der rechten Menge. 9. $\begin{eqnarray} \left\{3, \left\{4\right\}\right\} \in \left\{1,2, \left\{3,4\right\}\right\} \end{eqnarray}$ Völlig richtig erkannt: Die linke Menge enthält zwei Element, nämlich eine Zahl und eine Menge. Aber kein Element der rechten menge ist eine Menge mit diesen Eigenschaften, folglich: falsch. 10. $\begin{eqnarray} \left\{3, 4\right\} \subset \left\{1,2,3, \left\{3,4\right\}\right\} \end{eqnarray}$ Elemente der linken Menge: Die Zahl 3 Die Zahl 4 Elemente der rechten Menge: Die Zahl 1 Die Zahl 2 Die Zahl 3 Eine Menge, mit einem Inhalt, der uns nicht näher interessiert, weil die linke Menge ohnehin keine Mengen enthält. Wenn die linke Menge eine Teilmenge der rechten Menge wäre, müsste die rechte Menge auch die Zahl 4 als Element enthalten. Das ist aber nicht der Fall. Folglich ist der dargestellte Zusammeenhang falsch. Die Linke Menge ist keine Teilmenge der rechten (Sie ist aber zufällig ein Element der rechten Menge, aber das war hier nicht gefragt)
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03.11.2015, 10:23	XFlorian	Auf diesen Beitrag antworten »
Wow! Vielen Dank für die Hilfe!!

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