Abbildungen untersuchen auf Eigenschaft (injektiv, surjektiv und bijektiv)

02.11.2015, 10:30

Manuel222

Auf diesen Beitrag antworten »

Abbildungen untersuchen auf Eigenschaft (injektiv, surjektiv und bijektiv)

Meine Frage:
Hallo ich habe diese folgenden Aufgaben(siehe Bild) nur ich weiß leider nicht wie ich sowas untersuchen kann bzw Beweisen kann. Ich weiss sehr gut was die 3 eigenschaften bedeuten aber leider weiß ich nicht wie es geht.

Meine Ideen:
Ich würde wenn ich sehe das es die eigenschaft nicht erfüllt ein zahlenbeispiel angeben aber wenn es eine eigenschaft erfüllt weiß ich nicht genau wie ich das zeigen kann mathematisch korrekt.

02.11.2015, 13:48

magic_hero

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Abbildungen untersuchen auf Eigenschaft (injektiv, surjektiv und bijektiv)

Zitat:

Original von Manuel222
Ich weiss sehr gut was die 3 eigenschaften bedeuten aber leider weiß ich nicht wie es geht.
[...]
Ich würde wenn ich sehe das es die eigenschaft nicht erfüllt ein zahlenbeispiel angeben [...]

Wenn das so ist, dann hättest du zumindest schon mal anfangen können mit dem Auffinden von Gegenbeispielen. Das solltest du überhaupt auch zuerst machen, damit du weißt, was du zeigen willst.

Bevor man dir konkret helfen kann, müsstest du bitte (ich find es übrigens toll, dass das in der Aufgabenstellung auch immer vorkommt^^) sagen, was $\begin{eqnarray*} m_4 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} m_5 \end{eqnarray*}$ sein sollen.

Ansonsten schau dir die Definitionen der Begriffe an. Z.B. könntet ihr Injektivität einer Funktion so ähnlich formuliert haben:
Sei $\begin{eqnarray*} A, B \end{eqnarray*}$ Mengen. Eine Funktion $\begin{eqnarray*} f \colon A \to B \end{eqnarray*}$ heißt genau dann injektiv, falls aus $\begin{eqnarray*} f(x)=f(y) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x,y \in A \end{eqnarray*}$ folgt, dass $\begin{eqnarray*} x=y \end{eqnarray*}$ sein muss.
Einen Beweis würde man dann beginnen, indem man $\begin{eqnarray*} x,y \in A \end{eqnarray*}$ hernimmt, für die $\begin{eqnarray*} f(x)=f(y) \end{eqnarray*}$ gelte, und daraus versucht zu folgen, dass dann schon $\begin{eqnarray*} x=y \end{eqnarray*}$ sein muss (z.B. durch Umformen der Gleichung).

02.11.2015, 16:28

Manuel222

Auf diesen Beitrag antworten »

m4=1 und m5=8.

Also als erstes wollte ich für mich prüfen ob die beiden Funktionen inj, surj, bij sind.
Bei der f: komme ich auf (x-2)^2 wenn ich diese Funktion zeichne sehe ich genau das sie Injektiv ist aber nicht surjektiv da sie nicht alle y werte trifft.

Mit der g: hab ich Schwierigkeiten mit der Zeichnung.
Also ich habe mir erstmal die Mengen der beiden natürlichen Zahlen mit 0 auf geschrieben und die die x und die y paare für x und y eingesetzt. Das heißt beim zahlen paar (0,0) habe ich bei g:x+y+9 das Ergebnis 9 erhalten und dann habe ich gesehen das egal was für ein zahlen paar ich eingesetzt habe immer die werte 9 oder größer ergaben. Stimmt das erst mal und wie könnte ich das zeichnen?

02.11.2015, 19:24

magic_hero

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Manuel222
m4=1 und m5=8.

Hatte jetzt nicht erwatet, dass da so konkrete Werte sind, aber okay. Spielt eh nicht die riesige Rolle für die ganze Betrachtung.

Zitat:

Original von Manuel222
Bei der f: komme ich auf (x-2)^2 wenn ich diese Funktion zeichne sehe ich genau das sie Injektiv ist aber nicht surjektiv da sie nicht alle y werte trifft.

Dann zeichnest du entwdere falsch oder hast den Begriff "injektiv" nicht verstanden. Mit der Surjektivität bin ich grundsätzlich einverstanden, nur müsstest du noch dazu sagen, welcher y-Wert z.B. nicht getroffen wird.
Beachte: Weil du von Zeichnen sprichst, gehe ich jetzt erst mal davon aus, dass du eine Kurve gezeichnet hast. Die Funktion lebt aber nur auf den ganzen Zahlen $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ , nicht auf den reellen Zahlen $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ . Letztlich sollten also nur Punkte eingezeichnet werden. Beachte ebenfalls, dass der Wertebereich $\begin{eqnarray*} \mathbb{N}_0 \end{eqnarray*}$ ist, also die natürlichen Zahlen inkl. der 0. Das ist sehr wichtig, wenn man über Injektivität, Surjektivität etc. diskutieren will!

Zitat:

Original von Manuel222
Mit der g: hab ich Schwierigkeiten mit der Zeichnung.
Also ich habe mir erstmal die Mengen der beiden natürlichen Zahlen mit 0 auf geschrieben und die die x und die y paare für x und y eingesetzt. Das heißt beim zahlen paar (0,0) habe ich bei g:x+y+9 das Ergebnis 9 erhalten und dann habe ich gesehen das egal was für ein zahlen paar ich eingesetzt habe immer die werte 9 oder größer ergaben. Stimmt das erst mal und wie könnte ich das zeichnen?

g(0,0)=9 ist richtig. Eine Zeichnung oder Skizze dieser Funktion wäre dreidimensional, das ist nicht so besonders schön und ich bezweifle, dass du da so viel erkennen wirst. Zumal wir wieder einen diskreten Definitionsbereich haben mit $\begin{eqnarray*} \mathbb{N}_0 \times \mathbb{N}_0 \end{eqnarray*}$ .

Insofern wäre meine Empfehlung für die Injektivität von g, entweder mal so zu beginnen, wie ich vorgeschlagen habe, oder dir zu überlegen, ob du z.B. den Wert 10 herausbekommst, wenn du verschiedene Kombinationen für x,y einsetzt. Für die Surjektivität schaust du am besten noch mal den Wertebereich von g an.

03.11.2015, 08:13

Manuel222

Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt die f: ist auch nicht injektiv. smile

smile

ja ich kriege die 10 bei (0,1), (1,0) und (0,0). Kann ich dann sagen die 10 bildet auf (0,1), (1,0),(0,0) und ist deshalb nicht injektiv? Der Wertebereich geht von W=[9, +unendlich) würde das nicht heißen das sie auch nicht surjektiv ist da sie y Werte von o bis neun nicht getroffen werden?

03.11.2015, 10:24

magic_hero

Auf diesen Beitrag antworten »

Es gilt doch nicht g(0,0)=10?! Aber die anderen beiden Paare sind korrekt, weshalb g nicht injektiv sein kann.
Zur Surjektivität: 9 wird noch getroffen, 0 muss gar nicht getroffen werden, weil 0 meist nicht zu den natürlichen Zahlen gezählt wird, was hier aus dem Zusammenhang auch ersichtlich wird. Aber ja, die natürlichen Zahlen von 1 bis 8 werden nicht getroffen von g.

Anzeige

03.11.2015, 18:53

Manuel222

Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt super danke. smile

smile

Könntest du mir ein Ansatz geben zu b) kann ich da ein Beispiel machen?

03.11.2015, 19:49

magic_hero

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, du sollst eine Behauptung in der Allgemeinheit, wie sie da steht, beweisen!

Da in der Aufgabe behauptet wird, dass eine Aussage gilt genau dann, wenn eine andere gilt, handelt es sich hier um einen Äquivalenzbeweis. Fang aber zunächst einer Richtung an: Nimm an, dass eine Aussage gilt und zeige, dass dann auch die andere wahr ist.

Also z.B. so: Sei $\begin{eqnarray*} \{A_1,A_2\} \subset \mathcal{P}(M) \end{eqnarray*}$ und es gelte $\begin{eqnarray*} f(A_1 \cap A_2) = f(A_1) \cap f(A_2) \end{eqnarray*}$ . Daraus muss nun gefolgert werden, dass f injektiv ist.

04.11.2015, 10:39

Manuel222

Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich habe das so gemacht ich weiß aber nicht ob es richtig ist :

Für alle x,y x ungleich y und x Element A1 und y Element A2

Sei f( x Element A1 und y Element A2) => x Element f(A1) und y Element f(A2) <=> x Element f(A1) geschnitten y Element f(A2) => f(A1) geschnitten f(A2) = leere Menge
=> f(A1) ungleich f( A2)
Und das ist genau die Definition von injektiv.

04.11.2015, 13:56

magic_hero

Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist sehr kompliziert, das zu lesen, daher habe ich das mal in Latex umgeschrieben. Ich würde dich bitten, das entweder auch zu benutzen (z.B. mithilfe des Formeleditors auf der rechten Seite), oder z:b. im Anhang ein Bild hochzuladen. So ist das nur unnötig viel Arbeit für mich (oder andere Helfer).

Zitat:

Original von Manuel222 (ergänzt durch magic_hero)
Für alle $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x \neq y \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \in A_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \in A_2 \end{eqnarray*}$

Sei $\begin{eqnarray*} f(x \in A_1 \textrm{ und } y \in A_2) \Rightarrow x \in f(A_1) \textrm{ und } y \in f(A_2) \Leftrightarrow x \in f(A_1) \cap y \in f(A_2) \Rightarrow f(A_1) \cap f(A_2) = \emptyset \Rightarrow f(A_1) \neq f(A_2) \end{eqnarray*}$
Und das ist genau die Definition von injektiv.

Abgesehen von ein paar generellen Ungenauigkeiten ergibt einiges keinen Sinn. Was soll z.B. $\begin{eqnarray*} f(x \in A_1 \textrm{ und } y \in A_2) \end{eqnarray*}$ bedeuten? Das Schnittsymbol $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ ist nur bei Mengen sinnvoll, du benutzt es für Aussagen (im Fall $\begin{eqnarray*} x \in f(A_1) \cap y \in f(A_2) \end{eqnarray*}$ ). Und deine letztliche Folgerung muss im allgemeinen nicht gelten, es könnte nämlich $\begin{eqnarray*} f(A_1)=f(A_2)=\emptyset \end{eqnarray*}$ gelten. Außerdem müsstest du, um auf Injektivität zu schließen, am Ende auf $\begin{eqnarray*} f(x) \neq f(y) \end{eqnarray*}$ kommen.

Da in deinem Versuch aber doch der ein oder andere sinnvolle Ansatz zu stecken scheint, fange ich mal einen sauberen Beweis an, den du dann nur zu Ende führst:

Wir wollen zunächst zeigen, dass aus $\begin{eqnarray*} f(A_1 \cap A_2)=f(A_1) \cap f(A_2) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} \{A_1,A_2\} \subset \mathcal{P}(M) \end{eqnarray*}$ die Injektivität der Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ folgt.
Es gelte also $\begin{eqnarray*} f(A_1 \cap A_2)=f(A_1) \cap f(A_2) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} \{A_1,A_2\} \subset \mathcal{P}(M) \end{eqnarray*}$ . Wir führen nun einen Widerspruchsbeweis, indem wir annehmen, dass es $\begin{eqnarray*} x,y \in M \end{eqnarray*}$ gibt, für die $\begin{eqnarray*} x \neq y \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(x)=f(y) \end{eqnarray*}$ gilt. Schaffen wir es nun, diese Annahme zu einem Widerspruch zu führen, muss die Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ injektiv sein.
Wir wählen nun $\begin{eqnarray*} A_1= \ldots \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A_2= \ldots \end{eqnarray*}$ .

Jetzt bist du wieder an der Reihe. Man muss jetzt nur noch $\begin{eqnarray*} A_1, A_2 \end{eqnarray*}$ geeignet wählen (versuche das Offensichtliche, was du oben schon angedeutet hattest) und einen Widerspruch zu $\begin{eqnarray*} f(A_1 \cap A_2)=f(A_1) \cap f(A_2) \end{eqnarray*}$ finden. Das geht relativ leicht, wenn man $\begin{eqnarray*} A_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A_2 \end{eqnarray*}$ richtig wählt.

Natürlich muss nun auch die andere Beweisrichtung gezeigt werden, nämlich dass aus der Injektivität von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ folgt, dass $\begin{eqnarray*} f(A_1 \cap A_2)=f(A_1) \cap f(A_2) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} \{A_1,A_2\} \subset \mathcal{P}(M) \end{eqnarray*}$ gilt. Um so eine Mengengleichheit zu zeigen, nimmt man sich ein Element aus der einen Menge her und zeigt (unter Benutzung der Injektivität), dass es in der anderen ebenfalls enthalten ist, und das ganze Spiel umgekehrt. Dann hat man gezeigt, dass beide Mengen einander enthalten und somit gleich sein müssen.

04.11.2015, 15:43

Manuel222

Auf diesen Beitrag antworten »

Was ich nicht ganz verstehe wie muss ich den A1 wählen ? soll ich für A1 eine Menge Aufschreiben wenn ja was wäre denn von einer Menge $\begin{eqnarray*} A_{1} = \left\{ 1,2,3\right\} \end{eqnarray*}$ der wertebereich also f(A1) ? und wenn ich einfach eine Zahl einsetze wie 5 was wäre dann der Wertebereich also das y ? da ich. Ja keine Vorschrift habe.
Wenn ich einen Gegenbeispiel finde wäre der Beweis dann fertig ? Wenn nein warum nicht ich habe dann doch gezeigt das es nur Injektiv sein kann.

04.11.2015, 15:55

Manuel222

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß jetzt nicht ob man das machen kann aber ich habe jetzt einfach mal als Vorschrift
x|----> $\begin{eqnarray*} (x+2)^{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A_{1} = \left(2+2\right)^{2} =16. A_{2}= (-4+2)^{2} =16 \end{eqnarray*}$
Mhh ich weiß nicht oder liege ich da falsch
verwirrt

verwirrt

04.11.2015, 15:57

Manuel222

Auf diesen Beitrag antworten »

Tut mir leid $\begin{eqnarray*} A_{2}= \left(-6+2\right)^{2} \end{eqnarray*}$ das wäre gleich 16 Big Laugh

Big Laugh

04.11.2015, 16:17

magic_hero

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Manuel222
Was ich nicht ganz verstehe wie muss ich den A1 wählen ? soll ich für A1 eine Menge Aufschreiben

Ja, du musst eine Menge nehmen. Tipp: Wähle $\begin{eqnarray*} A_1=\{x\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A_2=\{y\} \end{eqnarray*}$ . Du erhältst dann einen Widerspruch zu $\begin{eqnarray*} f(A_1 \cap A_2) = f(A_1) \cap f(A_2) \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Manuel222
wenn ja was wäre denn von einer Menge $\begin{eqnarray*} A_{1} = \left\{ 1,2,3\right\} \end{eqnarray*}$ der wertebereich also f(A1) ?und wenn ich einfach eine Zahl einsetze wie 5 was wäre dann der Wertebereich also das y ? da ich. Ja keine Vorschrift habe.

Wenn du eine Menge in eine Funktion einsetzt, bekommst du eine Menge heraus, nämlich diejenige Menge, auf die die Funktion die eingesetzte Menge abbildet. Wenn du ein Element aus dem Definitionsbereich einsetzt, kommt ein Element aus dem Wertebereich als Ergebnis heraus. Das müssen keine Zahlen sein (es können aber welche sein, wenn z.B. $\begin{eqnarray*} M=N=\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ gewählt wird).

Zitat:

Original von Manuel222
Wenn ich einen Gegenbeispiel finde wäre der Beweis dann fertig ? Wenn nein warum nicht ich habe dann doch gezeigt das es nur Injektiv sein kann.

Ich verstehe nicht ganz, was dieser Satz bedeuten soll. Wenn du ein Gegenbeispiel findest, gilt die Aussage nicht. Allerdings ist diese mit "Zeigen Sie..." formuliert, was in der Regel stark darauf hindeutet, dass die Aussage gilt. Sie gilt auch tatsächlich. Den Beweis habe ich oben angefangen und zu Beginn dieses Beitrags schon fortgesetzt.

Du wirst dich daran gewöhnen müssen, dass du nicht immer Beipsiele machen kannst, sondern Aussagen allgemein gezeigt werden sollen. Hier kann man Beispiele zur Illustration machen (oder sich ansehen, warum der Satz eben so lautet, indem man einmal eine injektive Funktion betrachtet und einmal eine nicht injektive) - aber da du die Aussage beweisen musst, reicht das Beispiel alleine nicht. In vielen Fällen können Beispiele durchaus für einen Beweisansatz hilfreich sein, hier finde ich aber kein geeignetes Beispiel - und daher habe ich dir mal einen Beweisansatz mit an die Hand gegeben. Der Rest, der noch zu tun ist, sind ein oder zwei Zeilen, dann ist die eine Richtung schon mal bewiesen.

04.11.2015, 16:38

Manuel222

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} f(A_{1} = \left\{ x\right\} \cap A_{2} = \left\{ y\right\} ) = f(A_{1}) \cap f(A_{2}) <br /> <br /> f({})= f({x}) \cap f({y}) \end{eqnarray*}$

Ich glaube ich habe immer noch nicht richtig verstanden wie das geht. Ich weiß jetzt nicht was f(x) ist und f(y) ist ich weiß auch nicht ob das richtig ist

04.11.2015, 17:04

Manuel222

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich wähle für A1=x und für A2=y aber x und y sind nur Elemente einer Menge richtig?

Wenn ich das nun einsetzte dann kommt doch latex] f(x\cap y)=f(x)\cap f(y)[/latex]
Was mache ich nun mit dem Schnitt? Zwei Elemente kann ich ja nicht schneiden? Was mich auch verwirrt ist das allgemein für injektivität gilt: $\begin{eqnarray*} f(x)=f(y) \forall x=y \end{eqnarray*}$ Wie würde ich dahin kommen mit dem Zeichen des Schnittes?

04.11.2015, 17:11

magic_hero

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn wir $\begin{eqnarray*} A_1=\{x\}, A_2=\{y\} \end{eqnarray*}$ setzen, unter der Annahme, dass $\begin{eqnarray*} x \neq y \end{eqnarray*}$ , was ist dann $\begin{eqnarray*} f(A_1 \cap A_2) \end{eqnarray*}$ ? Und kann man noch etwas über $\begin{eqnarray*} f(A_1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(A_2) \end{eqnarray*}$ aussagen, wenn man anfangs $\begin{eqnarray*} f(x)=f(y) \end{eqnarray*}$ vorausgesetzt hat?

Die Schreibweisen in deinem letzten Beitrag sind teilweise wieder wenig sinnvoll...

04.11.2015, 17:25

magic_hero

Auf diesen Beitrag antworten »

Mein letzter Beitrag bezog sich auf deinen vorletzten. Hatte den neuen noch nicht gesehen, weil ich unterwegs bin und schlechten Empfang habe. Ich melde mich noch mal um ca. 19.30, wenn ich wieder daheim bin.

04.11.2015, 18:47

Manuel222

Auf diesen Beitrag antworten »

Das würde heißen das: $\begin{eqnarray*} A_{1}=\left\{ x\right\} und A_{2}=\left\{ y\right\} \Rightarrow f\left(A_{1}\cap A_{2} \right)= \left\{ \right\} \end{eqnarray*}$ da $\begin{eqnarray*} x\neq y \end{eqnarray*}$ aber bei $\begin{eqnarray*} f\left(x\right)\cap f\left(y\right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f\left(y\right) \vee f\left(x\right) \end{eqnarray*}$ da die beiden ja gleich sind

04.11.2015, 20:02

magic_hero

Auf diesen Beitrag antworten »

Entschuldige bitte, dass es etwas später wurde. Wie ich sehe, hast du die Zeit aber sinnvoll genutzt, jedenfalls was diese Aufgabe angeht. Freude

Freude

Zitat:

Original von Manuel222
Das würde heißen das: $\begin{eqnarray*} A_{1}=\left\{ x\right\} und A_{2}=\left\{ y\right\} \Rightarrow f\left(A_{1}\cap A_{2} \right)= \left\{ \right\} \end{eqnarray*}$ da $\begin{eqnarray*} x\neq y \end{eqnarray*}$

Korrekt!

Zitat:

Original von Manuel222
aber bei $\begin{eqnarray*} f\left(x\right)\cap f\left(y\right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f\left(y\right) \vee f\left(x\right) \end{eqnarray*}$ da die beiden ja gleich sind

Auch diese Überlegung stimmt, nur so kannst du das nicht aufschreiben, wir sind ja nicht auf Element-, sondern auf Mengenebene, wie schon bei deinem ersten Argument.
Schreibe also: Weil $\begin{eqnarray*} f(x)=f(y) \end{eqnarray*}$ , ist auch $\begin{eqnarray*} f(A_1)=f(A_2) \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} f(A_1) \cap f(A_2) = f(A_1) \end{eqnarray*}$ (man kann auch $\begin{eqnarray*} =f(A_2) \end{eqnarray*}$ schreiben). Diese Menge ist aber nicht leer, somit haben wir einen Widerspruch und die eine Beweisrichtung ist gezeigt.

Für die andere Beweisrichtung zitiere ich mich selbst, da habe ich ja schon erklärt, was zu tun ist:

Zitat:

Original von magic_hero
Natürlich muss nun auch die andere Beweisrichtung gezeigt werden, nämlich dass aus der Injektivität von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ folgt, dass $\begin{eqnarray*} f(A_1 \cap A_2)=f(A_1) \cap f(A_2) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} \{A_1,A_2\} \subset \mathcal{P}(M) \end{eqnarray*}$ gilt. Um so eine Mengengleichheit zu zeigen, nimmt man sich ein Element aus der einen Menge her und zeigt (unter Benutzung der Injektivität), dass es in der anderen ebenfalls enthalten ist, und das ganze Spiel umgekehrt. Dann hat man gezeigt, dass beide Mengen einander enthalten und somit gleich sein müssen.

04.11.2015, 22:40

Manuel222

Auf diesen Beitrag antworten »

Das freut mich. Danke smile

smile

Kann man die andere Seite nicht rückwärts schreiben. Also das ich $\begin{eqnarray*} f\left(A_{1} \right) =f(A_{1}) \cap f(A_{2} ) \Rightarrow f(A_{1} )=f(A_{2} )... \end{eqnarray*}$

04.11.2015, 22:46

magic_hero

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, sonst hätte ich das gleich gesagt Augenzwinkern

Augenzwinkern

Bereits die linke Seite deiner Aussage gilt i.A. nicht und die Folgerung gilt auch nicht. Fang einfach mal so an, wie ich oben vorgeschlagen habe. Falls du nicht weiterkommst, bin ich morgen wieder online.

05.11.2015, 11:42

Manuel222

Auf diesen Beitrag antworten »

Also zu zeigen: Da f Injektiv => $\begin{eqnarray*} f\left(A_{1} \cap A_{2} \right)= f\left(A_{1} \right) \cap f\left(A_{2} \right)\forall \left\{ A_{1} ,A_{2} \right\} \subset P(M) \end{eqnarray*}$
Es gilt $\begin{eqnarray*} x=y <=> f(x)=f(y) \end{eqnarray*}$ da f Injektiv, deshalb gilt auch $\begin{eqnarray*} x=y => x,y\in (A_{1} \cap A_{2})\Rightarrow f(x),f(y)\in f(A_{1}\cap A_{2}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(x),f(y)\in f(A_{1} \cap A_{2})\Rightarrow f(x)=f(y) \end{eqnarray*}$ also ist $\begin{eqnarray*} f(x)=f(y)=> f(x),f(y)\in f(A_{1} \cap f(A_{2}) \end{eqnarray*}$ .
Wäre das richtig? verwirrt

verwirrt

05.11.2015, 13:51

magic_hero

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Manuel222
Also zu zeigen: Da f Injektiv => $\begin{eqnarray*} f\left(A_{1} \cap A_{2} \right)= f\left(A_{1} \right) \cap f\left(A_{2} \right)\forall \left\{ A_{1} ,A_{2} \right\} \subset P(M) \end{eqnarray*}$
Es gilt $\begin{eqnarray*} x=y <=> f(x)=f(y) \end{eqnarray*}$ da f Injektiv, deshalb gilt auch $\begin{eqnarray*} x=y => x,y\in (A_{1} \cap A_{2})\Rightarrow f(x),f(y)\in f(A_{1}\cap A_{2}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(x),f(y)\in f(A_{1} \cap A_{2})\Rightarrow f(x)=f(y) \end{eqnarray*}$ also ist $\begin{eqnarray*} f(x)=f(y)=> f(x),f(y)\in f(A_{1}) \cap f(A_{2}) \end{eqnarray*}$ .
Wäre das richtig? verwirrt

verwirrt

Ich habe im letzten Schritt mal eine mutmaßlich fehlende Klammer hinzugefügt. Der letzte Schritt ist unzulässig. Ich sehe nicht, wie du aus $\begin{eqnarray*} f(x),f(y)\in f(A_{1} \cap A_{2}) \end{eqnarray*}$ die letzte Implikation folgern kannst. Das ist doch die Behauptung, wo ist jetzt dir Begründung dafür, dass sie gilt?

Ich würde das klassisch angehen und wie beschrieben zeigen, dass die eine Menge Teilmenge der anderen ist und danach das gleiche Spiel umgekehrt. In der einen Richtung braucht man sogar nicht mal die Injektivität. Letztlich läuft der Beweis auf das Anwenden von Definitionen heraus, die man dann natürlich kennen sollte.

Also: Wir wollen zeigen, dass aus der Injektivität von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ folgt, dass $\begin{eqnarray*} f(A_1 \cap A_2)=f(A_1) \cap f(A_2) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} \{A_1,A_2\} \subset \mathcal{P}(M) \end{eqnarray*}$ gilt.
Dazu zeigen wir in einem ersten Schritt, dass $\begin{eqnarray*} f(A_1 \cap A_2) \subset f(A_1) \cap f(A_2) \end{eqnarray*}$ ist.
Sei also $\begin{eqnarray*} y \in f(A_1 \cap A_2) \end{eqnarray*}$ . Es muss bewiesen werden, dass dann auch $\begin{eqnarray*} y \in f(A_1) \cap f(A_2) \end{eqnarray*}$ ist. Da $\begin{eqnarray*} y \in f(A_1 \cap A_2) \end{eqnarray*}$ , gibt es ein $\begin{eqnarray*} x \in A_1 \cap A_2 \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} f(x)=y \end{eqnarray*}$ .

Nun du. Im nächsten Schritt musst du die Definition des Schnittes $\begin{eqnarray*} A_1 \cap A_2 \end{eqnarray*}$ verwenden. Dannn wäre die erste Inklusion auch schon fast gezeigt. Beachte immer, was das Ziel ist (hier, wie oben bereits beschrieben: $\begin{eqnarray*} y \in f(A_1) \cap f(A_2) \end{eqnarray*}$ ).

05.11.2015, 15:26

Manuel222

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Definition der Schnittmenge ist ja x\in A_{1} \wedge x\in A_{2}
Kann ich dann daraus folgern das y\in f(A_{1})\cap f(A_{2}) ist?

05.11.2015, 15:28

Manuel222

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Definition der Schnittmenge ist ja $\begin{eqnarray*} x\in A_{1} \wedge x\in A_{2} \end{eqnarray*}$
Kann ich dann daraus folgern das $\begin{eqnarray*} y\in f(A_{1})\cap f(A_{2}) ist? \end{eqnarray*}$

05.11.2015, 16:50

magic_hero

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. Zum Beispiel: Da $\begin{eqnarray*} x \in A_1 \end{eqnarray*}$ , ist $\begin{eqnarray*} y=f(x) \in f(A_1) \end{eqnarray*}$ . Analog für $\begin{eqnarray*} A_2 \end{eqnarray*}$ .

Jetzt fehlt nur noch die umgekehrte Inklusion, also $\begin{eqnarray*} f(A_1) \cap f(A_2) \cap f(A_1 \cap A_2) \end{eqnarray*}$ . Da benötigt man aber die Injektivität, aber dann steht es auch schnell da.

05.11.2015, 17:46

Manuel222

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja die Injektivität ist ja nichts anderes als f(x_{1} )=f(x_{2}) \Rightarrow x1=x2
Aber was bedeutet das jetzt ganz genau ? wenn ich das so aufschreibe wars das dann ?

05.11.2015, 22:01

magic_hero

Auf diesen Beitrag antworten »

Vergiss erst mal die Definition von Injektivität. Ich meinte, dass du die beim Beweis jetzt brauchen wirst, aber erst mal setzt man an wie oben.

Ich habe mich übrigens oben vertippt, es muss natürlich $\begin{eqnarray*} f(A_1) \cap f(A_2) \subset f(A_1 \cap A_2) \end{eqnarray*}$ noch gezeigt werden.

Sei also $\begin{eqnarray*} y \in f(A_1) \cap f(A_2) \end{eqnarray*}$ . Dann existieren ...

Nun wieder du. Gehe so vor, wie ich es bei der ersten Inklusion getan habe. Wenn du die ... ergänzt hast, kannst du danach ausnutzen, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ injektiv ist.

05.11.2015, 22:48

Manuel222

Auf diesen Beitrag antworten »

ich weiss das leider nicht und habe Keine zeit für die aufgabe.
das heißt doch es existiert ein f(A1) mit x und f(A2)=y ?

05.11.2015, 23:55

magic_hero

Auf diesen Beitrag antworten »

Yoda würde sagen: Wirr du schreibst, junger Padawan. Was soll das denn heißen? Was soll x sein?

Ich führe das mal fort: Dann existieren $\begin{eqnarray*} x_1 \in A_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2 \in A_2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x_1)=y=f(x_2) \end{eqnarray*}$ .
Jetzt muss man benutzen, dass F injektiv ist und dann steht es quasi auch schon da.

07.11.2015, 08:39

Manuel222

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank. Ich habs jetzt Freude

Freude

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »