Taylor-Polynom berechnen mit Restgliedbestimmung

02.11.2015, 11:36

phylaw

Taylor-Polynom berechnen mit Restgliedbestimmung

Hey MB-Community!

Ich habe hier ein Beispiel zu den Taylor-Polynomen inkl. Restglied, jedoch ist es mir nicht ganzu geläufig: Berechnen Sie das Taylor-Polynom $\begin{eqnarray*} T_4(x) \end{eqnarray*}$ an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_0 = 0 \end{eqnarray*}$ für die Funktion sin(x) und zeigen Sie $\begin{eqnarray*} |sin(x)-T_4(x)| \leq \frac{|x|^5}{5!} \end{eqnarray*}$

Also erstmal brauchen wir mal die 1. bis 5. Ableitung des Sinus:
$\begin{eqnarray*} f'(x)=cos(x)\\ f''(x)=-sin(x)\\ f'''(x)=-cos(x)\\ f^{(4)}(x)=sin(x)\\ f^{(5)}(x)=cos(x) \end{eqnarray*}$

Durch Einsetzen in die Taylor-Reihe bis zum 4. Glied bekommt man folgendes:
$\begin{eqnarray*} T_4 = sin(0)+cos(0)x + (-\frac{sin(0)}{2!}x^2) + (-\frac{cos(0)}{3!}x^3) + \frac{sin(0)}{4!}x^4\\<br /> T_4 = x - \frac{1}{3}x^3 \end{eqnarray*}$
Stimmt das erstmal so?

Dann ergibt sich f(x) folgendermaßen:
$\begin{eqnarray*} f(x) = T_n(x) + R_n(x) \end{eqnarray*}$

Für uns gilt dann: $\begin{eqnarray*} sin(x) = T_4(x) + R_4(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} R_4(x) = \frac{cos(0+\theta(x-0))}{5!}*(x-0)^5 \end{eqnarray*}$

Und jetzt stehe ich an, weil mich dieses \theta zur Verzweiflung bringt verwirrt

. Eins weiß ich: Das Restglied ist der Fehler den man macht, wenn man nur die ersten 4 Glieder addiert, würde man unendlich viele addiern, dann wäre das Restglied = 0.

Ich hoffe ihr könnt mir hier ein wenig unterstützen!

MfG
phylaw

02.11.2015, 11:44

10001000Nick1

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im Matheboard!

Du solltest noch dazu schreiben: Es existiert ein $\begin{eqnarray*} \theta\in(0,x) \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} R_4(x)=... \end{eqnarray*}$ . Sonst weiß keiner, wo plötzlich das $\begin{eqnarray*} \theta \end{eqnarray*}$ herkommt. Augenzwinkern

Das Restglied kannst du erstmal vereinfachen. Und dann siehst du vielleicht eine passende Abschätzung.

02.11.2015, 12:44

phylaw

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Danke

.

Was hat das $\begin{eqnarray*} \theta \end{eqnarray*}$ zu bedeuten und warum nimmt es einen Wert zwischen Null und x an? x ist doch einfach ein Wert in X z.b. für: $\begin{eqnarray*} f:X \to \mathbb R \end{eqnarray*}$

02.11.2015, 12:46

10001000Nick1

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Gegenfrage: Woher weißt du, dass man für das Restglied $\begin{eqnarray*} R_4(x) = \frac{cos(0+\theta(x-0))}{5!}*(x-0)^5 \end{eqnarray*}$ schreiben kann? Irgendwo hast du dazu sicherlich einen Satz stehen; und da steht auch, dass $\begin{eqnarray*} \theta \end{eqnarray*}$ zwischen 0 und x liegt.

02.11.2015, 13:06

Magix

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kleiner Einwurf: Substituiert man $\begin{align*} \theta = { \xi -a \over x-a} \end{align*}$ mit $\begin{align*} \xi \end{align*}$ zwischen a und x, dann erhält man anscheinend die Lagrangeform, daher meine starke Vermutung, dass $\begin{align*} \theta \end{align*}$ eine Zahl zwischen 0 und 1 ist.

02.11.2015, 13:39

10001000Nick1

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Stimmt, es muss natürlich $\begin{eqnarray*} \theta\in[0,1] \end{eqnarray*}$ sein.

Aber letztlich ist es eigentlich völlig wurst für die Abschätzung, wo das $\begin{eqnarray*} \theta \end{eqnarray*}$ liegt; Hauptsache, man weiß, dass es so ein $\begin{eqnarray*} \theta \end{eqnarray*}$ überhaupt gibt. Augenzwinkern

02.11.2015, 17:58

phylaw

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Ah, sorry vergessen zum hinschreiben. Aber in meiner Formel steht auch $\begin{eqnarray*} \theta(x-x_0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ ist ja in unserem Fall Null.

Soll das eine Funktion sein, oder was stellt das dar? Ist leider nicht erklärt im Skriptum.

02.11.2015, 18:01

Magix

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phylaw, lies dir nochmal die beiden letzten Beiträge durch, da steht die Antwort auf deine gerade gestellte Frage.

02.11.2015, 18:44

phylaw

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Ah ok, dann ist das einfach eine Zahl zwischen 1 und 0, die mit $\begin{eqnarray*} (x - x_0) \end{eqnarray*}$ multipliziert wird?

Trotzdem verstehe ich nicht, was sie nun genau assagen soll und welchen Wert sie wann annimmt, also das $\begin{eqnarray*} \theta \end{eqnarray*}$ .

02.11.2015, 19:09

10001000Nick1

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Welchen Wert $\begin{eqnarray*} \theta \end{eqnarray*}$ annimmt, kann man so allgemein nicht sagen.
Man weiß nur: Es gibt ein $\begin{eqnarray*} \theta\in[0,1] \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} R_4(x)=\frac{\cos(\theta \cdot x)}{5!}\cdot x^5 \end{eqnarray*}$ . Damit kannst du die Ungleichung $\begin{eqnarray*} |sin(x)-T_4(x)| \leq \frac{|x|^5}{5!} \end{eqnarray*}$ zeigen.

02.11.2015, 20:12

Abstract

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Ah okay danke, also kann ich das \theta nun so stehen lassen, oder soll der cos-Term einfach weg?

Ich meine ich sehe ja alleine schon am $\begin{eqnarray*} x^5 \end{eqnarray*}$ , dass der $\begin{eqnarray*} R_4 \end{eqnarray*}$ -Term größer ist wie $\begin{eqnarray*} sin(x)-T_4(x) \end{eqnarray*}$ , also passt das schon so?

Warum wurde dann in der Angabe(das zu zeigende) z.B. der cos weggelassen?

02.11.2015, 21:43

10001000Nick1

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Zitat:

Original von Abstract
Ich meine ich sehe ja alleine schon am $\begin{eqnarray*} x^5 \end{eqnarray*}$ , dass der $\begin{eqnarray*} R_4 \end{eqnarray*}$ -Term größer ist wie $\begin{eqnarray*} sin(x)-T_4(x) \end{eqnarray*}$

Merkwürdig. Woran siehst du das? $\begin{eqnarray*} R_4(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sin(x)-T_4(x) \end{eqnarray*}$ sind exakt dasselbe. Das Restglied ist doch gerade so definiert, dass $\begin{eqnarray*} \sin(x)=T_4(x)+R_4(x) \end{eqnarray*}$ gilt.

Es ist also $\begin{eqnarray*} |\sin(x)-T_4(x)|=|R_4(x)|=\left|\frac{\cos(\theta x)}{5!}\cdot x^5\right| \end{eqnarray*}$ .

Das musst du jetzt irgendwie abschätzen.
In dem anderen Thread über den Mittelwertsatz habe ich dir gesagt, dass der Sinus beschränkt ist. Überleg mal, ob das für den Cosinus auch gilt...

Übrigens: Wozu der zweite Account "phylaw"? Der wird demnächst wieder gelöscht.

02.11.2015, 22:50

Abstract

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Ehrlich gesagt war das eine dumme Idee, phylaw einfach dann löschen und mein einziger Account wird dann der hier bleiben, sorry.

Back to topic:
Naja cos(x) kann maximal 1 werden und wenn $\begin{eqnarray*} cos(x)=1 \end{eqnarray*}$ , ist eben $\begin{eqnarray*} R_4(x) \end{eqnarray*}$ gleich dem $\begin{eqnarray*} \frac{x^5}/{5!} \end{eqnarray*}$ , was zu zeigen ist.

Richtig überlegt?

03.11.2015, 13:52

Abstract1

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Stimmt meine Überlegung?

03.11.2015, 14:13

10001000Nick1

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Man muss schon noch auf die Beträge achten.
Die Abschätzung würde so aussehen:
$\begin{eqnarray*} |R_4(x)|=\left|\frac{\cos(\theta x)}{5!}\cdot x^5\right|=\frac{|\cos(\theta x)|}{|5!|}\cdot |x^5| \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} =\frac{|\cos(\theta x)|}{5!}\cdot |x|^5\leq \frac{1}{5!}\cdot |x|^5=\frac{|x|^5}{5!} \end{eqnarray*}$ .

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