Laplace-Wahrscheinlichkeit (Aufgaben mit Eiern und Ringen)

24.08.2004, 15:21	Kirsche	Auf diesen Beitrag antworten »
Laplace-Wahrscheinlichkeit (Aufgaben mit Eiern und Ringen) Hallo alle zusammen, da ich nun wieder das Thema Wahrscheinlichkeitsrechnung habe,was ich das letzte Mal vor über nem' Jahr gemacht habe,hab ich echt keinen Plan mehr,wie ich an eine Aufgabe rangehe. Vielleicht kann mir jemand an den folgenden Aufgaben erklären,was ich zu tun habe. Ich bin echt für jede Hilfe dankbar. Bin schon ganz verzweifelt. Außerdem muss ich das alles kapiere,da ich nächstes Halbjahr ne' Überprüfungsarbeit schreibe,in der alles von diesem Jahr dran kommt. Deswegen hoffe ich es gibt jemanden, der mir helfen kann. Aufgabe 1: Ein Schelm hat in einen Korb mit 6 gekochten Eiern 4 rohe dazugelegt. a)Welcher Zufallsversuch könnte damit verbunden sein?Notiere die zugehörige Ergebnismenge. Info:Ein Zufallsversuch heißt Laplace-Versuch, wenn alle Ergebnisse gleichwahrscheinlich sind. b)Begründe, ob der von dir beschriebene Versuch diese Eigenschaft hat. c)Bestimme mit Hilfe eines geeigneten Baumdiagramms die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beim Herausnehmen von drei Eiern mindestens ein rohes Ei dabei ist. d)Begründe, dass "mindestens ein rohes Ei" ein Ereignis ist. Info meinerseits:Was ist überhaupt der Unterschied zwischen Ereignis und Ergebnis?! Aufgabe 2: Ein Spielautomat besteht aus drei konzentrischen Ringen. Jeder Ring ist gleichmäßig in 10 Abschnitte eingeteilt und in jedem Ring sind die Abschnitte fortlaufend mit 0 bis 9 beschriftet. Mit dem Drücken des Startknopfes beginnen die drei Ringe unabhängig voneinander zu rotieren. Wird der Glücksknopf betätigt, bremsen die Ringe unabhängig voneinander langsam ab und im Sichtfenster erscheinen drei Ziffern nebeneinander. Bei drei Einsen hat man gewonnen, bei zwei Einsen gibt es ein Freispiel. a)Notiere in einer zweizeiligen Tabelle in der oberen Zeile die Ergebnismenge und in der unteren die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten. Info:Eine derartige Zuordnung (s.u.) heißt Wahrscheinlichkeitsverteilung. Verkürze ggf. die Darstellung. Ist es ein Laplace-Versuch? b)Bestimme die Wahrscheinlichkeiten für den Gewinn bzw. für ein Freispiel. c)Warum ist die Summe aller Wahrscheinlichkeiten 1 (oder 100%)? So,tut mir Leid,dass das so viel ist,aber irgendwie muss man das ja mal kapieren. Vielen Dank schonmal, Kirsche
02.04.2005, 15:35	Hubi	Auf diesen Beitrag antworten »
Laplace-Wahrscheinlichkeiten Hallo Kirsche, ich habe deine Aufgaben mal bearbeitet! 1a) Möglich wäre zum Beispiel: Der Schelm zieht vier mal; Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, genau 2 gekochte und 2 rohe Eier zu ziehen? r=rohes Ei; k=gekochtes Ei Der Ergebnisraum $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \{ rrrr;rrrk;rrkr;...;kkkk\} \end{eqnarray}$ Ereignis A: genau 2 gekochte und 2 rohe Eier Wahrscheinlichkeit P(A)= $\begin{eqnarray} \frac{\begin{pmatrix} 6 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \end{pmatrix} }{\begin{pmatrix} 10 \\ 4 \end{pmatrix} } \end{eqnarray}$ = 42.9% b) Beim einmaligen ziehen gilt: P(r)= $\begin{eqnarray} \frac{6}{10} \end{eqnarray}$ ; P(k)= $\begin{eqnarray} \frac{4}{10} \end{eqnarray}$ ; Folglich besitzt der Versuch nicht die Eigenschaft eines Laplaß-Experiments c) Der Baum ist hier nicht darzustellen, ich gebe nur den Ergebnisraum an! $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \{rrr;rrk;rkr;rkk;krr;krk;kkr;kkk\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P(r\geq 1) = 1- P(r = 0) = 1- (\frac{6}{10} \cdot \frac{5}{9} \cdot \frac{4}{8}) = \frac{5}{6} \end{eqnarray}$ d) Ein Ereignis P ist eine Teilmenge des Ergebnisraumes $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ ; Ein Ereignis mit nur einem Ergebnis wird Elementarereignis genannt. 2) Der einfachheit halber fasse ich a) und b) zusammen: Es gibt insgesamt $\begin{eqnarray} 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10^{3} \end{eqnarray}$ Möglichkeiten, wie die drei Räder stehen können. Ereignis A: drei einser; $\begin{eqnarray} P (A) = \frac{1}{10} ^{3} = \frac{1}{1000} \end{eqnarray}$ Ereignis B: zwei einser Zwei einser können entweder auf dem 1. und 2., auf dem 1. und 3. oder auf dem 2. und 3. Rad erscheinen. $\begin{eqnarray} P (B) = 3 \cdot (\frac{1}{10}) ^{2} \cdot \frac{9}{10} = \frac{27}{1000} \end{eqnarray}$ Demnach gilt für Ereignis C: kein Gewinn: $\begin{eqnarray} P(C) = 1- [P(A) + P(B)] = \frac{972}{1000} \end{eqnarray}$ Ich würd da nicht mitspielen Grundsätzlich ist der Versuch ein Laplace-Experiment, da alle Zahlenkombinationen gleich wahrscheinlich sind! Unterteilt man den Ergebnisraum in verschieden wahrscheinliche Ereignise A, B, C so ändert sich das natürlich. c) Die Summe der Wahrscheinlichkeiten ist natürlich eins, da "Gewinn", "Freispiel", und "Verlust" den gesamten Ergebnisraum abdecken. Sie bilden zusammen das sichere Ereignis $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} P(\Omega) = \frac{\Omega}{\Omega} = 1 \end{eqnarray}$ So, ich hoffe ich konnte dir damit helfen... war ne scheiß arbeit die ganzen Formeln einzutippen... Gruß Hubi
19.09.2008, 21:48	K!ng Bush!do	Auf diesen Beitrag antworten »
Aufgabe 1 (Laplace) hier habe ich noch einen anderen weg, vielleicht fällt dir dieser leichter, erstellt zu der Aufgabe mit den Eiern, welches mindestens eines roh ist. Hubi hat recht, ein Baudiagramm ist hier kaum anwendbar da es zu viele Möglichkeiten gibt. Deshalb bedient man sich den sog. Kombinatorischen Formeln. Man stelle sich immer eine Urne vor. In diesem Fall besteht der Inhalt aus 10 Eiern, 6 gekochte und 4 rohe. Man überlegt sich jetzt legt man die Eier zurück oder nicht ? Antwort: Nein ! Dann überlegt man sich ist die Reihenfolge der gezogenen Eier wichtig ? Antwort: Ja ! Ausnahmsweise da zuvor die Antwort mit Zurücklegen Nein war ist es mit der Reihenfolge hier unwichtig. Es würde auch Nein gehen, vorausgesetzt das du die andere Formel richtig anwendest !! Ich zeige dir beide Formeln: Zuerst mit ZL Nein, RF Ja N! (! bedeutet Fakultät kurzschreibweise. Bsp 3! ist 321) N steht für die natürliche Gesamtmenge (der Inhalt der Urne = 10 Eier) n steht für die Stichprobe (die Frage war 3 Eier) N! ______ (N - n)! 10! _______ (10 - 3)! = 720 Möglichkeiten dann muss man sich überlegen was das Gegenereignis von "mindestens 1" ist Antwort: "höchstens" 0 was ja schwachsinn ist, aber dient der verständlichkeit somit keines. Deshalb denkt man sich die rohen Eier aus der Urne weg dann bleiben noch N = 6 übrig. Dann wiederholt man das für 6 Eier 6! _______ (6 - 3)! 120 Möglichkeiten dann die Folgerung aus den Aximone P(A/Gegenereignis) = 1 - P(A) = 1 - 120 / 720 = 5/6 0,83 Jetzt mit der anderen Formel mit ZL: Nein RF: Nein ( N ) ( n ) man braucht im TR die ncr. Taste dann gibt man ein 10ncr3 dann kommt raus 120 Möglichkeiten wie vorher die rohen Eier wegdenken dann heißt die Formel 6ncr3 = 20 Wieder die Folgerung aus den Axiomen P(A/Gegenereignis) = 1 - P(A) = 1 - 20/120 = 5/6 oder 0,83 kommt dasselbe raus Ich hoffe es hat dich nicht zu sehr verwirrt. Vielleicht aber auch geholfen Gruß K!ng Bush!do

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