Ungleichung lösen

02.11.2015, 14:29

Mathenoob1231

Ungleichung lösen

Ermitteln Sie sämtliche reelle Lösungen x von

|1-3x| < |5x-1|

Ideen:

1.
1-3x < 5x-1 | +3x

1 < 8x-1 |+1

2 < 8x |:8

2/8 > x

2. -(1-3x) < -(5x-1)
-1+3x < -5x + 1
-1+8x < +1
8x < 2 |:8
x > 2/8

Ist das richtig?

02.11.2015, 14:34

klarsoweit

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RE: Gleichung lösen

Zitat:

Original von Mathenoob1231
1.
1-3x < 5x-1 | +3x

...

2. -(1-3x) < -(5x-1)

Du kannst da nicht einfach die Betragsstriche weglassen bzw. das Vorzeichen umdrehen. Da mußt du schon genauer formulieren, unter welchen Bedingungen die jeweillige Umformung zulässig ist.

02.11.2015, 14:37

Mathenoob1231

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Könnten Sie mir ein Tipp geben?

02.11.2015, 14:39

klarsoweit

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Nun ja, was muß denn erfüllt sein, wenn man die Betragsstriche einfach weglassen will?

02.11.2015, 15:04

sdafdsaf

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Für eine reelle Zahl x gilt:
Definition des Betrages:

$\begin{eqnarray*} |x| := \begin{cases} \ \;\,\ \ x &\text{für } x \ge 0\\ \ \;\, - x &\text{für } x < 0 \end{cases} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |1-3x| < |5x-1| \end{eqnarray*}$

1)
$\begin{eqnarray*} 1-3x \geq 0 \Rightarrow x \geq \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

2)
$\begin{eqnarray*} 5x-1 \geq 0 \Rightarrow x \geq \frac{1}{5} \end{eqnarray*}$

1.Fall

$\begin{eqnarray*} |1-3x| := \begin{cases} \ \;\,\ \ 1-3x &\text{für } x \ge \frac{1}{3}\\ \ \;\, -1+3x &\text{für } x < \frac{1}{3} \end{cases} \end{eqnarray*}$

2.Fall
$\begin{eqnarray*} |5x-1| := \begin{cases} \ \;\,\ \ 5x-1 &\text{für } x \ge \frac{1}{5}\\ \ \;\, -5x+1 &\text{für } x < \frac{1}{5} \end{cases} \end{eqnarray*}$

Jetzt habe ich eigl drei Kritische Stellen oder?

02.11.2015, 15:06

Mathenoob1231

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Ich bin "sdafdsaf", vergessen den Namen einzutragen, sry.

02.11.2015, 15:08

klarsoweit

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Zitat:

Original von sdafdsaf
1.Fall

$\begin{eqnarray*} |1-3x| := \begin{cases} \ \;\,\ \ 1-3x &\text{für } x \ge \frac{1}{3}\\ \ \;\, -1+3x &\text{für } x < \frac{1}{3} \end{cases} \end{eqnarray*}$

Hier ist der Betrag falsch aufgelöst.

Zitat:

Original von sdafdsaf
Jetzt habe ich eigl drei Kritische Stellen oder?

Hm. Ich sehe nur zwei. verwirrt

02.11.2015, 15:16

Mathenoob1231

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Ohh, tut mir leid für den Fehler.

1)
$\begin{eqnarray*} 1-3x \geq 0 \Rightarrow x \leq \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

1.Fall

$\begin{eqnarray*} |1-3x| := \begin{cases} \ \;\,\ \ 1-3x &\text{für } x \le \frac{1}{3}\\ \ \;\, -1+3x &\text{für } x > \frac{1}{3} \end{cases} \end{eqnarray*}$

Ahh stimmt, habe ja zwei kritische Stellen, einmal 1/3 und 1/5.

Könnten Sie einen Tipp geben für den weiteren Verlauf der Rechnung geben?

02.11.2015, 15:29

klarsoweit

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Nun ja, jetzt sortieren wir 1/3 und 1/5 auf dem Zahlenstrahl und stellen fest, daß 1/5 < 1/3 ist, so daß als erster Fall x < 1/5 in Frage kommt.

02.11.2015, 15:36

Mathenoob1231

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Ohh verstehe^^

Also 1/3 ist größer als 1/5, deshalb betrachten wir folgende Menge:

$\begin{eqnarray*} x \in \left(-\infty \, \, , \, \, \frac{1}{5}\right) \end{eqnarray*}$ und da x auch kleinergleich 1/3 ist, folgt:

$\begin{eqnarray*} -5x+1 < 1-3x \Rightarrow x>0 \end{eqnarray*}$

Da das Ergebnis nicht mit unserer obengenannten Menge übereinstimmt, hätten wir eine leere Menge? verwirrt

02.11.2015, 16:06

klarsoweit

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Zitat:

Original von Mathenoob1231
$\begin{eqnarray*} -5x+1 < 1-3x \Rightarrow x>0 \end{eqnarray*}$

Ursprünglich lautete die Ungleichung |1-3x| < |5x-1| .
Also muß es doch wohl in diesem Fall $\begin{eqnarray*} 1-3x < 1 -5x \end{eqnarray*}$ lauten.
Die Lösungsmenge dieser Ungleichung mußt du dann mit der Menge schneiden, für die dieser Fall gilt.

03.11.2015, 15:01

Mathenoob1231

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$\begin{eqnarray*} x \in \left(-\infty \, \, , \, \, \frac{1}{5}\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1-3x < 1 -5x \Rightarrow x<0 \end{eqnarray*}$

Ist da nicht jeder Wert beeinhaltet? Denn x< 0, da ist ja jeder Wert von -unendlich bis -1 vorhanden und wir sind ja von x < 1/5 und x kleinergleich 1/3 ausgegangen.

03.11.2015, 15:24

klarsoweit

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Zitat:

Original von Mathenoob1231
Denn x< 0, da ist ja jeder Wert von -unendlich bis -1 vorhanden

-1/2 nicht?

Wegen $\begin{eqnarray*} x \in \left(-\infty , \frac{1}{5}\right) \end{eqnarray*}$ und x < 0 aufgrund der Ungleichung bleibt also unterm Strich $\begin{eqnarray*} x \in \left(-\infty , 0 \right) \end{eqnarray*}$ . smile

03.11.2015, 16:22

Mathenoob1231

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oki

2.

$\begin{eqnarray*} x \in \left[\frac{1}{5} , \frac{1}{3}\right] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1-3x < 5x-1 \Rightarrow x> \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$

Somit gilt: $\begin{eqnarray*} x \in \left(\frac{1}{4},\infty\right) \end{eqnarray*}$

Oder?

03.11.2015, 16:41

Mathema

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Deine Intervalle stimmen nun. Alternativ kannst du auch deine Ungleichung quadrieren am Anfang. Da beide Seiten positiv sind, stellt dieses hier eine Äquivalenzumformung dar.

$\begin{eqnarray*} |1-3x| < |5x-1| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (1-3x)^2<(5x-1)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (1-3x)^2-(5x-1)^2<0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ((1-3x)+(5x-1))((1-3x)-(5x-1))<0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2x(2-8x)<0 \end{eqnarray*}$

Ein Produkt wird negativ, wenn ein Faktor negativ wird und der zweite positiv.

1. Fall:

$\begin{eqnarray*} 2-8x<0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -8x<-2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x>\frac1 4 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} 2x>0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$

Dieser Fall liefert also das Intervall $\begin{eqnarray*} (\frac 1 4 ; \infty) \end{eqnarray*}$ .

2. Fall:

$\begin{eqnarray*} 2-8x>0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -8x>-2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x<\frac 14 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} 2x<0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x<0 \end{eqnarray*}$

Dieser Fall liefert das Intervall $\begin{eqnarray*} (-\infty;0) \end{eqnarray*}$

Somit haben wir also:

$\begin{eqnarray*} \mathbb{L}=(-\infty;0) \cup (\frac 1 4 ; \infty) \end{eqnarray*}$

03.11.2015, 17:12

Mathenoob1231

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Ohh

Können Sie das erläutern:Zitat:"Da beide Seiten positiv sind"

03.11.2015, 17:19

Mathema

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Du hast doch selber die Definition des Betrags geliefert:

Zitat:

Für eine reelle Zahl x gilt:
Definition des Betrages:

$\begin{eqnarray*} |x| := \begin{cases} \ \;\,\ \ x &\text{für } x \ge 0\\ \ \;\, - x &\text{für } x < 0 \end{cases} \end{eqnarray*}$

Da wir bei deiner Ungleichung auf der linke Seite ein Betrag haben und auf der rechten Seite, sind beide Seiten bestimmt nicht negativ.

edit: Wir duzen uns hier übrigens im Forum. smile

03.11.2015, 17:26

Mathenoob1231

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Ohh Verstehe;

Danke euch beiden, schönen Abend noch

03.11.2015, 19:25

HAL 9000

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@Mathema

Freut mich, noch einen Mitstreiter für diesen Lösungsweg für Ungleichungen mit äußeren Beträgen auf beiden Seiten zu haben. Hilft oft - wie auch hier gesehen - die Anzahl der zu untersuchenden Fälle deutlich zu reduzieren.

04.11.2015, 09:23

klarsoweit

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Ich finde es nur blöd, wenn man als Helfer einen bestimmten Lösungsweg (den man durchaus auch mal üben sollte) eingeschlagen hat, daß dann jemand anderes mit einem anderen Weg dazwischen funkt. unglücklich

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