Ungleichung lösen

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Mathenoob1231 Auf diesen Beitrag antworten »
Ungleichung lösen
Ermitteln Sie sämtliche reelle Lösungen x von

|1-3x| < |5x-1|




Ideen:

1.
1-3x < 5x-1 | +3x

1 < 8x-1 |+1

2 < 8x |:8

2/8 > x

2. -(1-3x) < -(5x-1)
-1+3x < -5x + 1
-1+8x < +1
8x < 2 |:8
x > 2/8

Ist das richtig?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichung lösen
Zitat:
Original von Mathenoob1231
1.
1-3x < 5x-1 | +3x

...

2. -(1-3x) < -(5x-1)

Du kannst da nicht einfach die Betragsstriche weglassen bzw. das Vorzeichen umdrehen. Da mußt du schon genauer formulieren, unter welchen Bedingungen die jeweillige Umformung zulässig ist.
 
 
Mathenoob1231 Auf diesen Beitrag antworten »

Könnten Sie mir ein Tipp geben?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Nun ja, was muß denn erfüllt sein, wenn man die Betragsstriche einfach weglassen will?
sdafdsaf Auf diesen Beitrag antworten »

Für eine reelle Zahl x gilt:
Definition des Betrages:






1)


2)


1.Fall



2.Fall


Jetzt habe ich eigl drei Kritische Stellen oder?
Mathenoob1231 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin "sdafdsaf", vergessen den Namen einzutragen, sry.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von sdafdsaf
1.Fall



Hier ist der Betrag falsch aufgelöst.

Zitat:
Original von sdafdsaf
Jetzt habe ich eigl drei Kritische Stellen oder?

Hm. Ich sehe nur zwei. verwirrt
Mathenoob1231 Auf diesen Beitrag antworten »

Ohh, tut mir leid für den Fehler.

1)


1.Fall




Ahh stimmt, habe ja zwei kritische Stellen, einmal 1/3 und 1/5.



Könnten Sie einen Tipp geben für den weiteren Verlauf der Rechnung geben?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Nun ja, jetzt sortieren wir 1/3 und 1/5 auf dem Zahlenstrahl und stellen fest, daß 1/5 < 1/3 ist, so daß als erster Fall x < 1/5 in Frage kommt.
Mathenoob1231 Auf diesen Beitrag antworten »

Ohh verstehe^^

Also 1/3 ist größer als 1/5, deshalb betrachten wir folgende Menge:

und da x auch kleinergleich 1/3 ist, folgt:



Da das Ergebnis nicht mit unserer obengenannten Menge übereinstimmt, hätten wir eine leere Menge? verwirrt
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathenoob1231


Ursprünglich lautete die Ungleichung |1-3x| < |5x-1| .
Also muß es doch wohl in diesem Fall lauten.
Die Lösungsmenge dieser Ungleichung mußt du dann mit der Menge schneiden, für die dieser Fall gilt.
Mathenoob1231 Auf diesen Beitrag antworten »





Ist da nicht jeder Wert beeinhaltet? Denn x< 0, da ist ja jeder Wert von -unendlich bis -1 vorhanden und wir sind ja von x < 1/5 und x kleinergleich 1/3 ausgegangen.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathenoob1231
Denn x< 0, da ist ja jeder Wert von -unendlich bis -1 vorhanden

-1/2 nicht?

Wegen und x < 0 aufgrund der Ungleichung bleibt also unterm Strich . smile
Mathenoob1231 Auf diesen Beitrag antworten »

oki smile

2.





Somit gilt:

Oder?
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Intervalle stimmen nun. Alternativ kannst du auch deine Ungleichung quadrieren am Anfang. Da beide Seiten positiv sind, stellt dieses hier eine Äquivalenzumformung dar.











Ein Produkt wird negativ, wenn ein Faktor negativ wird und der zweite positiv.

1. Fall:







und





Dieser Fall liefert also das Intervall .

2. Fall:







und





Dieser Fall liefert das Intervall

Somit haben wir also:

Mathenoob1231 Auf diesen Beitrag antworten »

Ohh

Können Sie das erläutern:Zitat:"Da beide Seiten positiv sind"
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast doch selber die Definition des Betrags geliefert:

Zitat:
Für eine reelle Zahl x gilt:
Definition des Betrages:



Da wir bei deiner Ungleichung auf der linke Seite ein Betrag haben und auf der rechten Seite, sind beide Seiten bestimmt nicht negativ.

edit: Wir duzen uns hier übrigens im Forum. smile
Mathenoob1231 Auf diesen Beitrag antworten »

Ohh Verstehe;


Danke euch beiden, schönen Abend noch
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

@Mathema

Freut mich, noch einen Mitstreiter für diesen Lösungsweg für Ungleichungen mit äußeren Beträgen auf beiden Seiten zu haben. Hilft oft - wie auch hier gesehen - die Anzahl der zu untersuchenden Fälle deutlich zu reduzieren.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Ich finde es nur blöd, wenn man als Helfer einen bestimmten Lösungsweg (den man durchaus auch mal üben sollte) eingeschlagen hat, daß dann jemand anderes mit einem anderen Weg dazwischen funkt. unglücklich
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