Flächenformel eines Dreiecks

03.11.2015, 10:10	paulinchen1234	Auf diesen Beitrag antworten »
Flächenformel eines Dreiecks Meine Frage: Hallo leider bin ich sehr schlecht in Mathe und komme jz nicht weiter leite die Flächenformel A=1/2 mal Wurzel von(a²b²-(ab)²) (a,b sind Vektoren) für Dreiecke in der Ebene mittels der trigonometrischen Flächenformel A=Betrag von a mal Betrag von b durch 2 mal sin phi her. Analog kann die Flächenformel für Parallelogramme so hergeleitet werden. Meine Ideen: Ich weiß nicht was ich tun soll :S
03.11.2015, 11:03	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Verwende $\begin{eqnarray} \vec a \cdot \vec b = \|\vec a\|\|\vec b\| \cdot \cos \gamma \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \sin^2 \gamma = 1 - \cos^2 \gamma \end{eqnarray}$ mY+
03.11.2015, 12:32	paulinchen1234	Auf diesen Beitrag antworten »
Also habe ich ja dann wenn ich das erste einsetze 2ab durch cos phi mal sin phi und wenn ich das ganze quadriere 4a²b²durch cos²phi mal 1 minus cos²phi oder? und wie mache ich da weiter?
03.11.2015, 17:47	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Also, du gehst davon aus (A ist die Fläche des Parallelogarmmes, die Fläche des Dreieckes ist die Hälfte davon): $\begin{eqnarray} A = \|\vec a\| \|\vec b\| \sin \gamma \end{eqnarray}$ Dann quadriere, beachte, dass $\begin{eqnarray} (\vec a)^2 = \|\vec a\|^2 \end{eqnarray}$ und ersetze den $\begin{eqnarray} \cos^2 \gamma \end{eqnarray}$ wie schon oben beschrieben; $\begin{eqnarray} \to \ A^2 = \vec a^2 \vec b^2 - \vec a^2 \vec b^2 \cos^2 \gamma \end{eqnarray}$ Und nun ersetze den Summmanden ganz rechts durch durch einen entsprechenden Teil der Formel $\begin{eqnarray} \vec a \cdot \vec b = \|\vec a\|\|\vec b\| \cos \gamma \end{eqnarray}$ Kommst du jetzt dahin? mY+
03.11.2015, 17:57	paulinchen1234	Auf diesen Beitrag antworten »
also kommt dann $\begin{eqnarray} A²=\|\vec{a} \|²\|\vec{b} \|²-(\vec{a}\vec{b})² \Rightarrow A=\sqrt{\vec{a}²\vec{b}²-(\vec{a}\vec{b})²} \end{eqnarray}$ wie genau kommst du auf das -a²b²cos²gamma?
03.11.2015, 18:12	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Durch Ausmultiplizieren. $\begin{eqnarray} \to \ A^2 = \|\vec a\|^2 \|\vec b\|^2 (1 - \cos^2 \gamma) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \to \ A^2 = \vec a^2 \vec b^2 (1 - \cos^2 \gamma) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \to \ A^2 = \vec a^2 \vec b^2 - \vec a^2 \vec b^2 \cos^2 \gamma \end{eqnarray}$ ------------------------- Es gilt nämlich immer (der "trigonometrische Pythagoras"): $\begin{eqnarray} \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \end{eqnarray}$ mY+
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03.11.2015, 18:17	paulinchen1234	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke

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