Dreieck in Ebene mit bestimmten Flächeninhalt

03.11.2015, 10:13

Janinaaaaaa

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Dreieck in Ebene mit bestimmten Flächeninhalt

Meine Frage:
Hey könnt ihr mir bitte helfen?

Gibt es ein Dreieck in der Ebene, dessen Eckpunkte "Gitterpunkte" sind (ganzzahlige koordinaten) und Flacheninhalt 10*1/3E² bzw. 10*1/4E² beträgt? Wenn ja, gib eines an, wenn nein, warum kann es so was nicht geben?

Meine Ideen:
ich komm leider auf nichts

03.11.2015, 10:20

mYthos

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Wenn du dir die analytische Flächenformel ansiehst, wird es dir klar werden ...
(Weisst du, wie diese Flächenformel aussieht?)

mY+

03.11.2015, 10:22

Janinaaaaa

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Danke für deine Antwort smile

smile

Nein ich weiß leider nicht wie diese aussieht

03.11.2015, 10:26

mYthos

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OK, also dann Plan B:

Du kannst von jedem Eckpunkt die Normalen auf die x-Achse zeichnen und die Fläche mittels besonderer Vierecke (wie sehen diese aus bzw. was sind sie?) zusammensetzen.

Bei dieser Gelegenheit entsteht auch eine interessante Flächenformel ...
Geht allerdings nur in R2 (2-dimensionaler Raum)
Soll die Aufgabe auch in R3 betrachtet werden?

Idee?

03.11.2015, 12:39

Janinaaaaa

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Geht das auch weniger umfangreich'?

03.11.2015, 14:25

mYthos

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Ist das in R2 oder R3 zu untersuchen?
Du kannst (auch hier im Forum) nach der entsprechenden Flächenformel suchen ...

mY+

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03.11.2015, 14:45

Janinaaaaa

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Es ist in R2

03.11.2015, 15:14

Steffen Bühler

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Ich helf mal kurz aus.

Hast Du denn mittlerweile auch herausgefunden, wie man die Fläche eines Dreiecks berechnet?

Viele Grüße
Steffen

03.11.2015, 15:54

Janinaaaaa

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Ja die Flächenformel ist doch A=1/2*Wurzel aus(a²b²-(a*b)²)

03.11.2015, 16:01

Steffen Bühler

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Diese Formel sieht seltsam aus, zumal $\begin{align*} \frac 12 \cdot \sqrt{a^2b^2-(a \cdot b)^2} =0 \end{align*}$ ist. Siehst Du das? Und was sollen denn a und b sein?

Es gibt jedenfalls eine einfachere Formel für die Dreiecksfläche. Kennst Du die?

03.11.2015, 16:06

Janinaaaaa

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aso aber wenn a und b Vektoren sind? kann dann die Formel stimmen?

03.11.2015, 16:19

Steffen Bühler

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Du meinst dann wahrscheinlich den halben Betrag des Kreuzproduktes der beiden Vektoren. Das würde allerdings anders geschrieben und bringt uns hier auch nicht weiter, fürchte ich.

Nein, erinnere Dich mal an die ersten Geometriestunden damals. Ohne Vektoren und so weiter. Wie hast Du damals die Dreiecksfläche berechnet?

03.11.2015, 16:21

Janinaaaaa

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Ich stehe jz komplett auf der Leitung

03.11.2015, 16:27

Steffen Bühler

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Och komm. Grundseite 47 cm, Höhe 11 cm. Wieviel Fläche?

03.11.2015, 16:32

Janinaaaaa

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Achso du meinst die ganz normale Formel also Grundseite mal Höhe durch 2

03.11.2015, 16:34

Steffen Bühler

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So ist es.

Nun ist es doch so, dass die Eckpunkte ganzzahlige Koordinaten haben. Zeichne Dir ruhig mal so ein paar Dreiecke auf Karopapier hin.

Siehst Du, was also für g und h gelten muss?

03.11.2015, 16:39

Janinaaaaa

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g und h müssen dann auch ganzzahlig sein oder?

03.11.2015, 16:48

Steffen Bühler

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Ja, allerdings für den Sonderfall, dass die Grundseite horizontal ist. (Ich gebe zu, das habe ich jetzt erst gesehen.)

Dann könnte man nämlich z.B. zeigen, dass $\begin{align*} \frac 12 gh = \frac {10}3 \end{align*}$ für ganzzahlige g und h nicht lösbar ist. Ist auch ganz nett, aber nur ein Sonderfall.

So aber werden wir doch besser Deinen Ansatz mit dem Kreuzprodukt verfolgen. Sorry.

Wir haben also einen Vektor $\begin{align*} \vec a = \begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix} \end{align*}$ und einen Vektor $\begin{align*} \vec b = \begin{pmatrix}b_1\\b_2\end{pmatrix} \end{align*}$ . Wie lautet dannn die Formel für den halben Betrag des Kreuzproduktes, also für die Dreiecksfläche?

03.11.2015, 16:55

Janinaaaaa

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Dann ist die Formel der Betrag des Kreuzproduktes a1b2-a2b1 durch 2 oder?

03.11.2015, 17:03

Leopold

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Zitat:

Original von Steffen Bühler
Diese Formel sieht seltsam aus, zumal $\begin{align*} \frac 12 \cdot \sqrt{a^2b^2-(a \cdot b)^2} =0 \end{align*}$ ist. Siehst Du das? Und was sollen denn a und b sein?

Diese Formel stimmt. Es kommt auch nicht 0 heraus. Allerdings sollte man sagen, daß $\begin{align*} a \end{align*}$ und $\begin{align*} b \end{align*}$ hier Vektoren sein müssen, zwei Vektoren, die das Dreieck aufspannen. Die Quadrate sind im Sinne des Standardskalarproduktes aufzufassen und natürlich ist auch $\begin{align*} a \cdot b \end{align*}$ ein solches.

Diese Formel stimmt in jeder Dimension (die Kreuzproduktformel funktioniert zum Beispiel nur im Dreidimensionalen), auch höher als 3. Im Zweidimensionalen vereinfacht sich die Formel beim Übergang zu Koordinaten, die Wurzel fällt weg (Hinweis: im Radikanden entsteht ein Binom). Man kann die Formel mit Hilfe von Determinanten auch anders aufschreiben. Sind $\begin{align*} A,B,C \end{align*}$ die Eckpunkte des Dreiecks, so ist sein Flächeninhalt $\begin{align*} F \end{align*}$ gegeben durch

$\begin{align*} F = \frac{1}{2} \cdot \begin{vmatrix} A & B & C \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} \end{align*}$

Die senkrechten Striche stehen für die Determinante. Bei $\begin{align*} A,B,C \end{align*}$ sind in Spaltenform die beiden Koordinaten der jeweiligen Punkte einzutragen. Insgesamt hat man also eine dreireihige Determinante. Die Formel liefert einen Flächeninhalt mit Vorzeichen. Will man ihn vorzeichenfrei, so muß man noch Betragsstriche setzen.

Gerade sehe ich, daß Janinaaaaa einen weiteren Beitrag verfaßt hat. Genau das erhält man, wenn man die obige Wurzelformel mit Koordinaten berechnet. (EDIT: siehe auch diesen gerade laufenden Strang)

03.11.2015, 17:06

Steffen Bühler

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Richtig. Und nun muss man eben zeigen, ob und wie für ganzzahlige $\begin{align*} a_1,a_2,b_1,b_2 \end{align*}$ die Gleichungen $\begin{align*} \frac {| a_1b_2 - a_2b_1|}2 = \frac {10}3 \end{align*}$ bzw. $\begin{align*} \frac {| a_1b_2 - a_2b_1|}2 = \frac {10}4 \end{align*}$ lösbar sind.

03.11.2015, 17:32

Janinaaaaa

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Also soll ich jz einfach ausprobieren ob es gilt oder geht das anders auch?

03.11.2015, 17:35

mYthos

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Zitat:

Original von Steffen Bühler
Diese Formel sieht seltsam aus, zumal $\begin{align*} \frac 12 \cdot \sqrt{a^2b^2-(a \cdot b)^2} =0 \end{align*}$ ist.
...

Nein. Dies ist die allgemeine Flächenformel, die sowohl in R2 als auch in R3 gilt.
Allerdings sind a, b Vektoren. In R2 liefert obige Formel, wenn man für a = (a1, b1) und für b = (b1, b2) einsetzt (zuerst quadrieren, reduzieren, ...)

2A = |a1b2 - a2b1|

Die Trapezmethode liefert für die Punkte A(x1; y1), B(x2; y2) und C(x3; y3) die sogenannte zyklische Flächenformel

2A = x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2)

Bei beiden Formeln wirst du jetzt sicher fündig ... (?)

P.S.:
Ich war leider 3 Stunden OFF

mY+

03.11.2015, 17:37

mYthos

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@Janina

Überlege dir, was passiert, wenn du in die (letztgenannten) Flächenformeln ganzahlige Werte einsetzt!
Beachte, dass du für A den Ausdruck halbieren musst.

mY+

03.11.2015, 17:37

Janinaaaaa

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Ich bin jz komplett verwirrt traurig

traurig

kann mir jemand ganz genau sagen wie ich bei meinem beispiel vorgehen muss? bitte bitte bitte

03.11.2015, 17:40

Steffen Bühler

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Das kommt drauf an, ob Du zum Beispiel schon weißt, was Abgeschlossenheit bedeutet. Die Menge der ganzen Zahlen ist abgeschlossen bezüglich der Mulitplikation und Subtraktion, das heißt, wenn Du zwei ganze Zahlen miteinander malnimmst, muss wieder eine ganze Zahl herauskommen. Und wenn Du zwei ganze Zahlen voneinander abziehst, ebenfalls. Das müsste man strenggenommen auch erst beweisen, vielleicht dürft Ihr sowas auch voraussetzen. Das hilft Dir bei der ersten Gleichung.

Und bei der zweiten findest Du bestimmt schnell zwei Zahlenpaare, die die Gleichung erfüllen. In der Tat ist hier Probieren die schnellste Methode. Es muss ja nur ein Dreieck angegeben werden.

PS: Oh, Mythos ist wieder da. Dann kann ich mich zurückziehen.

03.11.2015, 17:40

Janinaaaaa

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Ist es dass, wenn ich ganze Zahlen einsetze ich nie auf drittel oder viertel kommen kann?

03.11.2015, 17:44

Leopold

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@ mYthos

Dasselbe steht schon in meinem Beitrag ... Augenzwinkern

Augenzwinkern

03.11.2015, 17:47

Janinaaaaa

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Ok danke! Also gibt es kein Dreieck mit Flächeninhalt 10 1/3 E² jedoch schon eines mit 10 1/4 oder?

03.11.2015, 17:49

Leopold

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Jetzt:

Zitat:

Original von Janinaaaaa
Ok danke! Also gibt es kein Dreieck mit Flächeninhalt 10 1/3 E² jedoch schon eines mit 10 1/4 oder?

Anfänglich:

Zitat:

Original von Janinaaaaaa
10*1/3E² bzw. 10*1/4E²

verwirrt

verwirrt

verwirrt

03.11.2015, 17:56

mYthos

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@Leopold
Ich habe leider nicht alle Beiträge gesehen, der Browser hing, weil der PC vom Netz war und am Phone ist es etwas unübersichtlich.

03.11.2015, 18:00

Janinaaaaa

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Oh da hab ich mich verschrieben ohne mal dazwischen sorry

03.11.2015, 18:03

mYthos

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Und - was ist in diesem Fall dein Resultat, kann einer der zwei Fälle eintreten?
Und bitte, auch begründen!

mY+

03.11.2015, 18:06

Janinaaaaa

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nichts von beiden ist möglich oder weil wenn ich ganzzeilige Zahlen habe und die durch 2 dividiere kann nie ein viertel oder ein drittel rauskommen

03.11.2015, 18:15

mYthos

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Ja, das ist richtig so.
Hoffentlich hast du - obwohl es anfangs ein wenig Schwierigkeiten gab - die Herleitung auch verstanden!

mY+

03.11.2015, 19:17

Janinaaaaa

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Kannst du mir kurz nochmal helfen?

Wenn ich die formel vereinfache also mal 2 und quadriere komme ich ja auf 4A=a²b²-(a*b)² und wie komme ich dann auf dein Ergebnis?

03.11.2015, 21:44

mYthos

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Behandeln wir jetzt mal einfach die Fläche des Parallelogrammes, dann können wir die 2 (bzw. die 4) weglassen.
Die Fläche des Dreieckes ist zum Schluss dann die Hälfte. So ist

$\begin{eqnarray*} A^2 = \vec a^2 \vec b^2 - (\vec a \cdot \vec b)^2 \ \text{... Fläche des von den Vektoren a,b gebildeten Parallelogrammes} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec a = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}; \ \vec b = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \to A^2 = (a_1^2 + a_2^2)(b_1^2 + b_2^2) - (a_1b_1 + a_2b_2)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \to A^2 = a_1^2b_1^2 + a_2^2b_1^2 + a_1^2b_2^2 + a_2^2b_2^2 - (a_1^2b_1^2 + 2a_1b_1a_2b_2 + a_2^2b_2^2) \end{eqnarray*}$

Löse die Klammer auf, dann kannst du einige Glieder reduzieren!
Das, was stehen bleibt, ist wieder ein reines Quadrat, somit kann daraus $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ (durch Wurzel aus beiden Seiten) ermittelt werden.

Klappt es?

mY+

04.11.2015, 14:32

Janinaaaaa

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Danke für alles! Funktioniert bestens smile

smile

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