Varietät in irreduzible Komponenten zerlegen

03.11.2015, 10:48	alcardaalanda	Auf diesen Beitrag antworten »
Varietät in irreduzible Komponenten zerlegen Hallo zusammen. Folgende Aufgabe beschäftigt mich und irgendwie scheine ich den "Dreh" noch nicht rauszuhaben. Sei $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ algebraisch abgeschlossen und $\begin{eqnarray} Y \subset \mathbb{A}^3(k) \end{eqnarray}$ die gemeinsame NST-Menge der Polynome $\begin{eqnarray} x^2-yz \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} xz-x \end{eqnarray}$ . Nun sollen die irreduziblen Komponenten samt der korrespondierenden Primideale berechnet werden. Wenn ich die NST-Menge mit $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ bezeichne, erhalte ich dann $\begin{eqnarray} V(x^2-yz,xz-z) = V(x^2-yz) \cap V(xz-z) \end{eqnarray}$ . Hierfür habe ich dann berechnet: $\begin{eqnarray} V(x^2-yz) = \{(x,y,\frac{x^2}{y} \| y \neq 0)\} \cup \{(0,0,z)\} \\ V(xz-x) = \{(x,y,1)\} \cup \{(0,y,z)\} \end{eqnarray}$ Es ergibt sich: $\begin{eqnarray} V(x^2-yz)\cap V(xz-x) = \{(0,y,0)\}\cup \{(0,0,z)\}\cup \{(x,x^2,1)\} \end{eqnarray}$ . Nun wollte ich mich daran machen, zu zeigen, dass diese Komponenten irreduzibel sind, indem ich die dazugehörigen Verschwindungsideale berechne und zeige, dass sie prim sind. (Ist die Zerlegung soweit richtig? Ich weiß, dass es insgesamt drei Komponenten sind). Die ersten beiden Komponenten sind mehr oder weniger trivial, denn es ergibt sich $\begin{eqnarray} I(\{(0,y,0)\} = (x,z) \end{eqnarray}$ und dies ist offensichtlich prim, da $\begin{eqnarray} k[x,y,z]/(x,z) \cong k[y] \end{eqnarray}$ und somit Integritätsbereich ist. Analog natürlich für die zweite Komponente. Bei der dritten Komponente habe ich allerdings so meine Probleme, alleine das Ideal zu bestimmen. Ich hätte jetzt gedacht, dass dieses eventuell die Form $\begin{eqnarray} (x^2-y,z-1) \end{eqnarray}$ hat, um den Bedingungen an die NST gerecht zu werden. Weiter hätte ich dann etwas in der Form $\begin{eqnarray} k[x,y,z]/(x^2-y,z-1) \cong k[x,x^2,z]/(z-1) ... \end{eqnarray}$ gerechnet, in der "Hoffnung", am Schluss auf das Ergebnis $\begin{eqnarray} ... \cong k[x,x^2] \cong k[x] \end{eqnarray}$ zu kommen. Leider scheinen meine Kenntnisse da aber etwas eingerostet zu sein. Vielleicht hat ja jemand von euch einen Tipp und kann mir sagen, ob die Rechnungen bisher richtig sind und der Ansatz am Ende zielführend sein kann. Vielen Dank schonmal!

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