Rotation im R3 und bestimmen der Drehmatrizen

03.11.2015, 16:36	mathebanause	Auf diesen Beitrag antworten »
Rotation im R3 und bestimmen der Drehmatrizen Hallo ihr lieben! ich könnte eine kleine Hilfestellung gebrauchen bei folgender Aufgabe, welche ich als relativ schwierig empfinde und total ratlos bin wie ich das angehen soll. (i) $\begin{eqnarray} T : \mathbb R^3 \mapsto \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ bezeichne die Rotation um den Winkel 60° im positiven Uhrzeigersinn der $\begin{eqnarray} x_1x_2 \end{eqnarray}$ -Ebene mit Rotationsachse {0}×{0}× $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ . Finde $\begin{eqnarray} T_{[e] \mapsto [e]} \end{eqnarray}$ . Hinweis: Für jeden Vektor v der Rotationsachse gilt T v = v . (ii) $\begin{eqnarray} S : \mathbb R^3 \mapsto \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ bezeichne die Rotation um den Winkel 60° im negativen Uhrzeigersinn der $\begin{eqnarray} x_2x_3 \end{eqnarray}$ -Ebene mit Rotationsachse $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ ×{0}×{0}. Finde $\begin{eqnarray} S_{[e]\mapsto[e]} \end{eqnarray}$ . (iii) Berechne $\begin{eqnarray} (S \circ T)_{[e]\mapsto[e]} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (T \circ S)_{[e]\mapsto[e]} \end{eqnarray}$ . (iv) Verifiziere, dass $\begin{eqnarray} T_{[e]\mapsto[e]} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} S_{[e]\mapsto[e]} \end{eqnarray}$ orthogonal sind. es ist nicht so, dass ich gar nichts davon verstehe aber ich weiss nicht wie ich es angehen soll. mit Rotationsachse {0}×{0}× $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ ist da die $\begin{eqnarray} x_3 \end{eqnarray}$ -Achse gemein? und was ist gemeint mit "für jeden Vektor v der Rotationsachse gilt T v=v"? Orthogonalität beweisen sollte gehen wenn ich die anderen Sachen rausbekommen habe.. Ich wäre euch sehr dankbar für eure Hilfe! liebste Grüsse mathebanause
03.11.2015, 17:42	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, die Rotationsachsen sind die $\begin{eqnarray} x_3 \end{eqnarray}$ -Achse für $\begin{eqnarray} T \end{eqnarray}$ und die $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ -Achse für $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ . Sicher ist Dir bekannt (wenn nicht, dann ist das hier der entscheidende Tipp ) , dass in der Darstellungsmatrix einer linearen Abbildung die Bilder der Basisvektoren in den Spalten stehen. Der Hinweis in der Aufgabe stellt die triviale Tatsache fest, dass die Drehachse bei einer Drehung punktweise fest bleibt, also kennt man (nach meinem Tipp) schon eine Spalte von $\begin{eqnarray} T \end{eqnarray}$ und eine Spalte von $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ .
03.11.2015, 18:41	mathebanause	Auf diesen Beitrag antworten »
also dann dreht sich die $\begin{eqnarray} x_1x_2 \end{eqnarray}$ -Ebene um die $\begin{eqnarray} x_3 \end{eqnarray}$ -Achse bei i) kann ich die 60° einbringen indem ich etwas mit $\begin{eqnarray} \frac{\pi}{3} \end{eqnarray}$ rechne? also das wäre eigentlich die Abbildungsvorschrift dass ich die Ebene um $\begin{eqnarray} \frac{\pi}{3} \end{eqnarray}$ drehe. Die Basis ist ja eigentlich nicht vorgeschrieben also kann ich sowohl vor als auch nach der Abbildung die Standardbasis e nehmen oder?
03.11.2015, 19:01	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja. Bilder der Standardbasis als Spalten in die Matrizen schreiben. So geht das IMMER.
03.11.2015, 21:03	mathebanause	Auf diesen Beitrag antworten »
danke für deine Tipps! ich glaube i) habe ich herausgefunden, so macht es für mich zumindest Sinn.. könntest du es kurz überprüfen? das wäre sehr nett! $\begin{eqnarray} T: \mathbb R ^3 \mapsto \mathbb R^3, f\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} a_1 cos(\phi ) + x_2 * sin(\phi ) \\ x_1-sin(\phi) + x_2cos(\phi) \\ x_3 \end{pmatrix} <br /> <br /> T_{[e]\mapsto[e]} = \begin{pmatrix} cos(\phi) & sin(\phi) & 0 \\ -sin(\phi) & cos(\phi) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
03.11.2015, 21:25	mathebanause	Auf diesen Beitrag antworten »
in der ersten Zeile der Matrix meinte ich natürlich x1 nicht a1
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04.11.2015, 09:56	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Fast richtig (bis auf endlich viele Fehler) . $\begin{eqnarray} a_1cos(\phi) \end{eqnarray}$ ist Unsinn, weil $\begin{eqnarray} a_1 \end{eqnarray}$ gar nicht vorkommt, $\begin{eqnarray} x_1-sin(\phi)+... \end{eqnarray}$ darfst Du nicht schreiben, die richtige Schreibweise wäre $\begin{eqnarray} x_1(-sin(\phi))+... \end{eqnarray}$ . Die Vorzeichen beim $\begin{eqnarray} sin \end{eqnarray}$ musst Du vertauschen ( siehe hier : https://de.wikipedia.org/wiki/Drehmatrix ) . $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray*}$ geht analog. Dann musst Du nur noch die richtigen Winkel eintragen und die Werte der Winkelfunktionen berechnen.
04.11.2015, 10:06	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine bisherige Matrix dreht gerade im negativen Sinn (also im Uhrzeigersinn) um die z-Achse. Du musst also die Drehrichtung umkehren, indem du das Vorzeichen des Drehwinkels umkehrst gemäß $\begin{eqnarray} \phi\rightarrow -\phi \end{eqnarray}$ . Mit anderen Worten: Du musst die Matrix transponieren. Beispiel: Der Einheitsvektor (1\|0\|0) müsste bei positiver Drehung um 90° auf den der Vektor (0\|1\|0) abgebildet werden. Bei deiner Drehung wird er aber auf den vektor (0\|-1\|0) abgebildet. Prüfe das mal, indem du in deiner Drehmatrix setzt $\begin{eqnarray} \phi=90° \end{eqnarray}$

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