Archimedischer Körper (K,>)

03.11.2015, 19:29	mathelow9	Auf diesen Beitrag antworten »
Archimedischer Körper (K,>) a)Zeigen sie,dass es für alle x $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ K, x>0, eine natürliche Zahl n $\begin{eqnarray} \neq \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ 0 aus K gibt so,dass 0< $\begin{eqnarray} \frac{1}{n} \end{eqnarray}$ < x b)Folgern sie aus (a) dass es für je zwei Elemente x,y $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ K mit 0<x<y natürliche Zahlen p und q $\begin{eqnarray} \neq \end{eqnarray}$ 0 gibt so,dass x< $\begin{eqnarray} \frac{p}{q} \end{eqnarray}$ < y muss ich in der a nicht einfach das archimedische axiom beweisen ist das nicht das arch. axiom 0< $\begin{eqnarray} \frac{1}{n} \end{eqnarray}$ < x nur etwas anders geschrieben? hilfe wäre super !
04.11.2015, 10:48	Hubert1965	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Archimedischer Körper (K,>) Erstens: Was willst du mit »eine natürliche Zahl n $\begin{eqnarray} \neq \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ 0 aus K« sagen? Es ergibt keinen Sinn die Symbole »ungleich« (» $\begin{eqnarray} \neq \end{eqnarray}$ «) und »Element von« (» $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ «) unmittelbar aufeinander folgen zu lassen. Ich vermute mal, dass du das meinst: $\begin{eqnarray} n \in K, n \neq 0 \end{eqnarray}$ (Klicke bei meiner Antwort auf »Zitat« und schau dir an, wie ich das geschrieben habe.) (Man kann übrigens auch anstatt »latex« in der eckigen Klammer einfach nur »l« schreiben, das Ergebnis ist dasselbe) Zweitens: Ein Axiom kann man nicht beweisen. Ein Axiom ist per Definition wahr. Da macht ja den Unterschied zwischen einem Axiom und einem Satz aus. Aber umgekehrt geht es: Du kannst den Satz beweisen, indem du ihn aus einem oder mehreren Axiomen, oder aus Sätzen, die bereits nachweislich aus Axiomen abgeleitete wurden, ableitest. Das ist übrigens die einzige Möglichkeit Sätze zu beweisen. Die Axiome sind das per Definition als wahr deklarierte, und daher per se unbeweisbare Fundament eines mathematischen Teilgebietes. Alle wahren Sätze dieses Teilgebietes sind direkt oder indirekt aus diesen Axiomen ableitbar. Wenn ein Satz nachweislich nicht aus den Axiomen ableitbar ist, ist der falsch. Nun kann es aber sein, dass man, um ein mathematisches Teilgebiet zu definieren, bei der Wahl der Axiome über das Ziel hinaus schießt. Dann kann es sein, dass man Axiome einführt, die überflüssig sind, weil sie sich aus anderen Axiomen ableiten lassen. Dann muss man also sei Axiomen-Set ausmisten. In der Zahlentheorie wirft man meist das Archimedische Axiom raus, und behält ein paar andere Axiome. Dann wird das Archimedische Axiom zu einem einfachen Satz, der bewiesen werden kann (indem man ihn aus jenen Axiomen ableitet, die man behalten hat) Daher betrachten die meisten Mathematiker das Archimedische Axiom als ein Theorem (also als einen wichtigen Satz), und nicht als Axiom. Trotzdem gilt für dich: Du sollst nicht beweisen, dass das A.A. wahr ist, wenn die angegebene Beziehung wahr ist, sondern du sollst davon ausgehen, dass das A.A. wahr ist (du sollst also so tun, als wäre es tatsächlich ein Axiom, oder ein Theorem, das bereits bewiesen wurde). Und davon ausgehend sollst du einen logischen Zusammenhang zu der aufgestellten Behauptung herstellen, aus dem zweifelsfrei hervorgeht, dass diese Behauptung wahr ist. Aber ich kann dich beruhigen: Aufgabe a ist tatsächlich sehr einfach, und du hast im Prinzip die richtige Lösung schon genannt, nur sollte dir klar sein, dass du eben nicht davon ausgehen kannst, dass $\begin{eqnarray} 0<\frac{1}{n}<x \end{eqnarray}$ wahr ist, um damit das A.A. zu beweisen, sondern dass du davon ausgehen musst, dass das A.A. wahr ist, um damit den vorerst fraglichen Wahrheitsgehalt von $\begin{eqnarray} 0<\frac{1}{n}<x \end{eqnarray}$ zu ermitteln.

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