Hilbertraum L^2

03.11.2015, 22:16

LordKelvin

Hilbertraum L^2

Meine Frage:
Hallo liebe Mathematiker,

ich habe ein Problem bei folgender Aufgabe, die eigentlich aus der Theo. Physik stammt:

Wir nennen eine Funktion $\begin{eqnarray*} \psi : \mathbb{R} \to \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ quadratintegrierbar, wenn $\begin{eqnarray*} |\psi|^2 := \psi^* \psi \end{eqnarray*}$ integrierbar ist, d.h. $\begin{eqnarray*} \int_{\mathbb{R}} |\psi(x)|^2 dx < \infty \end{eqnarray*}$ gilt. Die Menge solcher Funktionen wird mit $\begin{eqnarray*} L^2(\mathbb{R}) \end{eqnarray*}$ bezeichnet.

a) Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} \psi + \lambda \phi \in L^2(\mathbb{R}) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} \psi, \phi \in L^2(\mathbb{R}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda \in \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ , wobei
$\begin{eqnarray*} (\psi + \phi)(x) := \psi(x) + \phi(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} ( \lambda \psi)(x) := \lambda \psi(x) \end{eqnarray*}$

Damit ist $\begin{eqnarray*} L^2(\mathbb{R}) \end{eqnarray*}$ ein komplexer Vektorraum. Mit
$\begin{eqnarray*} \langle \psi , \phi \rangle := \int \psi^*(x) \phi(x) dx \end{eqnarray*}$

definieren wir eine Sesquilinearform auf dem Vektorraum $\begin{eqnarray*} L^2(\mathbb{R}) \end{eqnarray*}$ . Für alle $\begin{eqnarray*} \psi \in L^2(\mathbb{R}) \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \phi \to \langle \psi, \phi \rangle \end{eqnarray*}$ linear und es gilt auch $\begin{eqnarray*} \langle \psi, \phi \rangle = \langle \phi, \psi \rangle \end{eqnarray*}$ (braucht nicht gezeigt zu werden).

b) Zeigen Sie, dass für jedes $\begin{eqnarray*} \psi \in L^2(\mathbb{R}) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \langle \psi, \psi \rangle =0 \end{eqnarray*}$ eine Nullmenge $\begin{eqnarray*} N \subset \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ existiert, so dass $\begin{eqnarray*} \psi(x) = 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{R} \backslash N \end{eqnarray*}$ gilt.

Tipps: i) Kontraposition. ii) Für $\begin{eqnarray*} f := |\psi |^2 \end{eqnarray*}$ zerlege $\begin{eqnarray*} A := \lbrace f > 0 \rbrace \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} A_0 :=\lbrace 1\leq f \rbrace \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A_j :=\lbrace 1/(j+1) \leq f < 1/j\rbrace \end{eqnarray*}$ , wobei z.B. $\begin{eqnarray*} \lbrace f >0 \rbrace :=\lbrace x \in \mathbb{R} : f(x) > 0 \rbrace \end{eqnarray*}$ bezeichnet. Es darf kommentarlos angenommen werden, dass $\begin{eqnarray*} \int_{A_j} dx \end{eqnarray*}$ wohldefiniert ist.

Es gibt noch weitere Aufgaben, aber die würde ich dann alleine schaffen...denke ich smile

Meine Ideen:
Wir wollen zeigen:
$\begin{eqnarray*} \int_{\mathbb{R}} | \psi(x) + \lambda \phi(x) |^2 dx \in L^2(\mathbb{R}) \end{eqnarray*}$
Wir definieren $\begin{eqnarray*} \lambda = a + ib \end{eqnarray*}$ dann gilt
$\begin{eqnarray*} \int_{\mathbb{R}} | \psi(x) + (a+ib) \phi(x) |^2 dx = \int_{\mathbb{R}} \langle \psi(x), (a+ib) \phi(x) \rangle dx \end{eqnarray*}$
Nun würde ich einfach argumentieren, dass das Integral in L2 liegt.

zu b)
Das wollen wir zeigen doch zeigen
$\begin{eqnarray*} \forall \psi \in L^2(\mathbb{R}) \exists N \subset \mathbb{R} \Leftrightarrow \psi(x) = 0 \forall x \in \mathbb{R} \backslash N \end{eqnarray*}$
wobei $\begin{eqnarray*} N= \langle \psi , \psi \rangle = 0 \end{eqnarray*}$ die Nullmenge ist.
Dann ist die Kontraposition:
$\begin{eqnarray*} \psi (x) \neq 0 \Rightarrow \nexists N \end{eqnarray*}$
Dann bin ich mir aber unsicher wie ich weitermachen soll :S

03.11.2015, 23:00

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RE: Hilbertraum L^2

Zitat:

Wir wollen zeigen:
$\begin{eqnarray*} \int_{\mathbb{R}} | \psi(x) + \lambda \phi(x) |^2 dx \in L^2(\mathbb{R}) \end{eqnarray*}$

Nein, das willst du nicht. Links steht eine Zahl, rechts ein Funktionenraum. Das wird nix.
$\begin{eqnarray*} \psi + \lambda \phi \in L^2(\mathbb{R}) \end{eqnarray*}$ folgt leicht aus der für alle $\begin{eqnarray*} z,w\in\mathbb{C} \end{eqnarray*}$ gültigen Abschätzung $\begin{eqnarray*} |z+w|^2\leq 2(|z|^2+|w|^2) \end{eqnarray*}$

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \int_{\mathbb{R}} | \psi(x) + (a+ib) \phi(x) |^2 dx = \int_{\mathbb{R}} \langle \psi(x), (a+ib) \phi(x) \rangle dx \end{eqnarray*}$

ist falsch. Schau dir nochmal die Definition der Sesquilinearform an. Der Integrand auf der rechten Seite wäre eine konstante Zahl.

04.11.2015, 10:18

Ehos

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Zu zeigen ist, dass aus den beiden Voraussetzungen $\begin{eqnarray*} \int \psi\psi^*dx<\infty \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \int \phi\phi^*dx<\infty \end{eqnarray*}$ folgt, dass $\begin{eqnarray*} \int (\psi+\lambda\cdot \phi)\cdot (\psi+\lambda\cdot \phi)^*dx<\infty \end{eqnarray*}$ .

Multipliziere den Integranden aus und zerlege alles in 4 einzelne Integrale.

04.11.2015, 18:48

LordKelvin

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Ok vielen Dank erstmal smile

$\begin{eqnarray*} \int_{\mathbb{R}} | \psi(x) + \lambda \phi(x) |^2 dx &=& \int_{\mathbb{R}} (\psi(x) + \lambda \phi(x))^* \cdot (\psi(x) + \lambda \phi(x)) dx \\ &=& \int_{\mathbb{R}} (\psi(x)^{*} + \lambda^{*} \phi(x)^*) \cdot (\psi(x) + \lambda \phi(x)) dx \\ &=& \int_{\mathbb{R}} \psi(x) \psi(x)^{*} + \lambda^{*} \lambda \phi(x)^* \phi(x) + \lambda^{*} \psi(x) \phi(x)^{*} + \lambda \psi(x)^{*} \phi(x) dx \\ \end{eqnarray*}$

Sieht man da jetzt schon das das Integral kleiner Unendlich ist ?

04.11.2015, 19:08

LordKelvin

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$\begin{eqnarray*} \int_{\mathbb{R}} \underbrace{\psi(x) \psi(x)^{*}}_{<\infty} + \underbrace{\lambda^{*} \lambda \phi(x)^* \phi(x)}_{<\infty} +\underbrace{ \lambda^{*} \psi(x) \phi(x)^{*}}_{?<\infty} + \underbrace{\lambda \psi(x)^{*} \phi(x)}_{?<\infty} dx \end{eqnarray*}$

Bei den letzten beiden bin ich mir nicht ganz sicher..?

04.11.2015, 19:14

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@Ehos: Ich bin weg.

04.11.2015, 19:16

LordKelvin

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Habe ich eine dumme Frage gestellt? verwirrt

04.11.2015, 19:25

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@LordKelvin: Es ist eher - sagen wir unüblich - dass sich ein Helfer einmischt, wenn schon einer geantwortet hat. Es sei denn, es gibt einen guten Grund (z.B dass der Ersthelfer Unsinn geschrieben hat). Warten wir also ab, wie Ehos (sich) erklärt.
Um klarzustellen, dass er den Thread jetzt hat, schrieb ich meinen Beitrag - dessen Erklärung jetzt ungleich länger dauerte Wink

04.11.2015, 19:31

LordKelvin

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Achse dachte schon meine Frage wäre so dämlich, dass du weg bis Freude

Ich hoffe auch, dass er bald zurückkommt

04.11.2015, 21:11

LordKelvin

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Kann man folgendes machen ?
$\begin{eqnarray*} \int_{\mathbb{R}} | \psi(x) + \lambda \phi(x) |^2 dx &=& \int_{\mathbb{R}} (\psi(x) + \lambda \phi(x))^* \cdot (\psi(x) + \lambda \phi(x)) dx \\ &=& \int_{\mathbb{R}} (\psi(x)^{*} + \lambda^{*} \phi(x)^*) \cdot (\psi(x) + \lambda \phi(x)) dx \\ &=& \int_{\mathbb{R}} \psi(x) \psi(x)^{*} + \lambda^{*} \lambda \phi(x)^* \phi(x) +\lambda^{*} \psi(x) \phi(x)^{*} + \lambda \psi(x)^{*} \phi(x) dx \\ &=& \int_{\mathbb{R}} \psi(x) \psi(x)^{*} + (x-iy) (x+iy) \phi(x)^* \phi(x) +(x-iy) \psi(x) \phi(x)^{*} + (x+iy) \psi(x)^{*} \phi(x) dx \\ &=& \int_{\mathbb{R}} \psi(x) \psi(x)^{*} + (x^2 +y^2) \phi(x)^* \phi(x) +(x-iy) \psi(x) \phi(x)^{*} + (x+iy) \psi(x)^{*} \phi(x) dx \\ &=& \int_{\mathbb{R}} |\psi(x)|^2 + (x^2 +y^2) |\phi(x)|^2 + 2 x \psi(x) \phi(x) dx \end{eqnarray*}$

Also sagen, dass die Funktionen reell sind und konjugiert das gleiche sind ?

04.11.2015, 21:32

HAL 9000

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Zitat:

Original von LordKelvin
und es gilt auch $\begin{eqnarray*} \langle \psi, \phi \rangle = \langle \phi, \psi \rangle \end{eqnarray*}$ (braucht nicht gezeigt zu werden).

Kann auch gar nicht gezeigt werden, weil es i.a. falsch ist. Vermutlich meinst du stattdessen $\begin{eqnarray*} \langle \psi, \phi \rangle = \langle \phi, \psi \rangle^* \end{eqnarray*}$ .

04.11.2015, 21:34

LordKelvin

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Zu b)

Hinrichtung:

$\begin{eqnarray*} \psi (x) \neq 0 \Rightarrow \int_{\mathbb{R}} | \psi(x) |^2 \neq 0 \end{eqnarray*}$

und

Rückrichtung:
$\begin{eqnarray*} \int_{A} |\psi(x)|^2 dx &=& \int_{A_0} |\psi(x)|^{2} dx + \int_{A_j} |\psi(x)|^{2} \end{eqnarray*}$

?? so in der Art ??

Beim ersten bin ich mir auch gar nicht so sicher, ob wenn die Funktion ungleich Null auch das Skalarprodukt ungleich Null ist, da ja oben in der Aufgabe steht, dass für jedes psi das Skalarprodukt Null ist. Wäre das dann nicht ein Widerspruch zur Nullmenge.

Ich komm echt nicht klar unglücklich

04.11.2015, 21:42

LordKelvin

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Jaa stimmt geschockt

$\begin{eqnarray*} \int_{\mathbb{R}} | \psi(x) + \lambda \phi(x) |^2 dx &=& \int_{\mathbb{R}} (\psi(x) + \lambda \phi(x))^* \cdot (\psi(x) + \lambda \phi(x)) dx \\ &=& \int_{\mathbb{R}} (\psi(x)^{*} + \lambda^{*} \phi(x)^*) \cdot (\psi(x) + \lambda \phi(x)) dx \\ &=& \int_{\mathbb{R}} \langle \psi , \psi \rangle + \langle \psi , \lambda \phi \rangle + \langle \lambda \phi , \lambda \phi \rangle + \langle \lambda \phi , \psi\rangle dx \\ &=& \int_{\mathbb{R}} \langle \psi , \psi \rangle + 2 \langle \psi , \lambda \phi \rangle + \langle \lambda \phi , \lambda \phi \rangle dx \end{eqnarray*}$

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