Exponentialgleichung auflösen

04.11.2015, 13:25

Kleebo

Exponentialgleichung auflösen

Meine Frage:
Hallo Leute, ich bekomm soweit in Mathe alles hin nur bei den Exponentialfunktionen scheint mein Hirn zu blockieren. Ich häng nun schon längere Zeit an folgender Aufgabe.

2^(x+2) - 3^x = 3^x + 2^x

Meine Ideen:
2^x + 2^2 - 3^x = 3^x + 2^x

2^2 = 3^x + 3^x

Und dann? ich komm zum verrecken nicht drauf.

Gruß

04.11.2015, 13:29

DerApfel

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$\begin{eqnarray*} 2^{x+2} \end{eqnarray*}$ ist nicht $\begin{eqnarray*} 2^{x}+2^{2} \end{eqnarray*}$ sondern $\begin{eqnarray*} 2^{x}*2^{2} \end{eqnarray*}$

Vielleicht bringt dich das weiter.

04.11.2015, 13:38

Kleebo

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Hallo, danke für die Antwort, aber nein, noch nicht so ganz.

Ich hab daraus jetzt 2^x(2^2-1) =3^x+3^x gemacht

jetzt könnte ich theoretisch noch 3*2^x auf der linken Seite stehen haben, und dann?`

Gruß

edit.
ich hab das Ganze jetzt durch 3^x geteilt und komme dann auf x=2. Falls das richtig ist, super, aber ich würde mich freuen das Ganze noch anders lösen zu können. smile

04.11.2015, 14:03

DerApfel

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Mach die Probe dann siehst du, dass es leider nicht stimmt.

Wir waren stehen geblieben bei:

$\begin{eqnarray*} 3*2^{x} = 2* 3^{x} \end{eqnarray*}$

dann $\begin{eqnarray*} :2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{2}*2^{x} = 3^{x} \end{eqnarray*}$

Logarithmus:

$\begin{eqnarray*} \log_{(\frac{3}{2} * 2^{x})} = x*\log_{3} \end{eqnarray*}$

sind

$\begin{eqnarray*} \log_{\frac{3}{2}} + x*\log_{2} \end{eqnarray*}$

dann:

$\begin{eqnarray*} \log_{\frac{3}{2}} = x*\log_{3} - x*\log_{2} \end{eqnarray*}$

ausklammern:

$\begin{eqnarray*} x*(\log_{3} - \log_{2}) \end{eqnarray*}$

teilen und:

$\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$

04.11.2015, 14:21

Kleebo

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Hallo nochmal smile

Also dir Urgeilchgung lautet 2^(x+2) - 3^x = 3^x + 2

-> 2^x *2^2 - 3^x = 3^x + 2^x

ich weiß nicht wie du auf 3 * 2^x = 2 * 3^x kommst :/

Ich bin jetzt wie Folgt vorgegangen.
Die 2^x auf die linke Seite genommen und die -3^x auf die Rechte.

-> 3*2^x = 3^x + 3^x

durch 3

-> 2^x = 2

04.11.2015, 14:26

DerApfel

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Mit dem durch 3 meinst du das, oder?

$\begin{eqnarray*} 2^{x}=\frac{3^{x}+3^{x}}{3} \end{eqnarray*}$

04.11.2015, 14:36

Kleebo

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Genau

04.11.2015, 14:40

DerApfel

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Und dann soll plötzlich das $\begin{eqnarray*} ^{x} \end{eqnarray*}$ verschwinden?

04.11.2015, 14:42

Kleebo

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1^x dachte ich käme dann raus.

04.11.2015, 15:50

Matlock

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Hallo,
ich habs folgendermaßen gemacht. Ich habe ein paar Erklärungen hinzugeschrieben, um es besser verständlich zu machen.
$\begin{eqnarray*} 2^{x+2} -3^x = 3^x +2^x \end{eqnarray*}$
=>Bringe alle 2^x auf die linke Seite und alle 3^x auf die rechte Seite der GleichungBemerkung: 3^x + 3^x = 2 * 3^x
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow 2^{x+2} - 2^x = 2\cdot 3^x \end{eqnarray*}$
Es gilt $\begin{eqnarray*} 2^{x+2} = 2^x \cdot 2 \cdot 2 = 2^x \cdot 4 \end{eqnarray*}$
Damit folgt: 2^x ausklammern auf der linken Seite der Gleichung
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow 2^x\cdot(4 -1) = 2\cdot 3^x \end{eqnarray*}$
Teile die Gleichung durch 3 und 2
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow 2^{x-1} = 3^{x-1} \end{eqnarray*}$
Bilde den dekadischen Logarithmus
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \log(2^{x-1}) = \log(3^{x-1}) \end{eqnarray*}$
Gemäß der Rechengesetze des Logarithmus, darf der Exponet als Faktor vor den Logarithmus geschrieben werden
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow (x-1)\log 2 = (x-1)\log3 \end{eqnarray*}$
Aus der Monotonie der Logarithmusfunktion folgt, dass diese Gleichung nur wahr ist, wenn x = 1 ist, d.h. auf beiden Seiten muss 0 herauskommen.

Ich kann Apfels Lösungsvorschlag nicht nachhvollziehen. Wenn man in einer Gleichung den Logarithmus anwendet, dann muss er auf beiden Seiten angewendet werden. Aber du hast auf einmal den Logarithmus zur Basis 3/2 auf der einen und zur Basis 2 auf der anderen Seite. Das kann meiner Meinung nach nicht stimmen.

04.11.2015, 16:09

DerApfel

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Zitat:

Original von Matlock
Ich kann Apfels Lösungsvorschlag nicht nachhvollziehen. Wenn man in einer Gleichung den Logarithmus anwendet, dann muss er auf beiden Seiten angewendet werden. Aber du hast auf einmal den Logarithmus zur Basis 3/2 auf der einen und zur Basis 2 auf der anderen Seite. Das kann meiner Meinung nach nicht stimmen.

Es soll natürlich $\begin{eqnarray*} \log_{10}{\frac{3}{2}} \end{eqnarray*}$ heißen.

Oder $\begin{eqnarray*} \ln{\frac{3}{2}} \end{eqnarray*}$ ist auch möglich.

04.11.2015, 18:48

Matlock

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Hallo,

man kann auch die Gleichung umformen wie ich oben bereits angegeben habe bis man erhält:
$\begin{eqnarray*} 2^{x-1} = 3^{x-1} \end{eqnarray*}$
Die 3^x-1 auf die linke Seite holen:
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \frac{2^{x-1}}{3^{x-1}} = 1 \end{eqnarray*}$
Wegen der Potenzgesetze darf ich schreiben:
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \left( \frac{2}{3}\right)^{x-1} = 1 \end{eqnarray*}$
Logarithmieren:
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \log \left( \frac{2}{3}\right)^{x-1} = \log 1 \end{eqnarray*}$
Der dekadische logarithmus von 1 ist 0. Auf der rechten Seite der Gleichung forme ich gemäß der Logarithmusrechenregeln um
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow (x-1) \cdot \log \frac{2}{3} = 0 \end{eqnarray*}$

Da log(2/3) ungleich Null, muss x-1 Null sein. Dies lässt nur den Schluss zu, dass x = 1.

Ich hoffe es stimmt so smile

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