Warum ist 1+2+3+4+... gleich -1/12 ?

04.11.2015, 15:08

Hubert1965

Warum ist 1+2+3+4+... gleich -1/12 ?

Zählt man alle natürliche Zahlen zusammen (von denen keine negativ, und keine gebrochen ist), so ist das Ergebnis dieser Reihe eine negative gebrochene Zahl, nämlich -1/12:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty} n = 1+2+3+4+5+6+... = -\frac{1}{12} \end{eqnarray*}$

Für diesen Satz gibt es mehrere Beweise. Leider kenne ich nur zwei davon, und habe bei beiden Verständnisprobleme.

Ich schreibe mal den ersten mir bekannten Beweis auf, und stelle erst danach meine Fragen dazu:

Beweis:
Erstes Lemma:
Sei
$\begin{eqnarray*} [1]\qquad R_1 := \sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n \end{eqnarray*}$

Anders geschrieben:

$\begin{eqnarray*} [2]\qquad R_1 = 1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1... \end{eqnarray*}$

Dann ist

$\begin{eqnarray*} [3]\qquad 1 - R_1 = 1-\left(1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1...\right) \end{eqnarray*}$

Auflösen der Klammer (alle Vorzeichen in der ehemaligen Klammer umkehren):

$\begin{eqnarray*} [4]\qquad 1- R_1 = 1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1-1... \end{eqnarray*}$

Die rechten Seiten von [2] und [4] sind gleich, folglich trifft das auch auf die linken Seiten zu:

$\begin{eqnarray*} [5]\qquad R_1 = 1-R_1 \end{eqnarray*}$

Einfaches Umformen und Einsetzen von [1] ergibt das

1. Lemma:
$\begin{eqnarray*} [6]\qquad R_1 = \sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Zweites Lemma:
Sei
$\begin{eqnarray*} [7]\qquad R_2 := \sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \cdot n \end{eqnarray*}$

Anders geschrieben:

$\begin{eqnarray*} [8]\qquad\qquad R_2 = 1-2+3-4+5-6+7-8+9... \end{eqnarray*}$

Dann ist

$\begin{eqnarray*} [9]\qquad 0 + R_2 = 0+1-2+3-4+5-6+7-8... \end{eqnarray*}$

Nun addiere ich die linken und rechten Seiten von [8] und [9], wobei ich auf der rechten Seite abwechselnd einen Summanden aus [8] und einen aus [9] zu einer Teilsumme zusammenfasse, und das für alle Summanden mache. (Die erste Zahl in jeder Klamemr stammt aus [8], die zweite aus [9]. In einer Klammer werden Summanden mit gleichen Positionen innerhalb der ursprünglichen Reihen zusammengefasst):

$\begin{eqnarray*} [10]\qquad R_2+0+R_2 =(1+ 0)+(-2+1)+(3-2)+(-4+3)+(5-4)+(-6+5)... \end{eqnarray*}$

Links vereinfachen und rechts die Klammern durch ihre Werte ersetzen:

$\begin{eqnarray*} [11]\qquad 2 \cdot R_2 = 1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1... \end{eqnarray*}$

Rechte Seite durch [2] und dann durch [6] substituieren:

$\begin{eqnarray*} [12]\qquad 2 \cdot R_2 = R_1 = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Umformen und Einsetzen von [7] ergibt das

2. Lemma:
$\begin{eqnarray*} [13]\qquad R_2 = \sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \cdot n = \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$

Kommen wir nun zu dem, was eigentlich bewiesen werden soll:

Sei
$\begin{eqnarray*} [14]\qquad R_3 := \sum\limits_{n=1}^{\infty} n \end{eqnarray*}$

Anders geschrieben:

$\begin{eqnarray*} [15]\qquad R_3 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9... \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} R_3 \end{eqnarray*}$ ist also nichts geringeres als die Summe aller natürlichen Zahlen.

Nun brauche ich noch einmal die Zeile [8], allerdings mit umgekehrten Vorzeichen (alles mit -1 multipliziert)

$\begin{eqnarray*} [16]\qquad -R_2 = -1+2-3+4-5+6-7+8-9... \end{eqnarray*}$

Ich addiere nun die linken und rechten Seiten vom [15] und [16], und fasse jeweils wieder zwei Summanden so zusammen, wie ich das bereits in [10] getan habe:

$\begin{eqnarray*} [17]\qquad R_3-R_2 = (1-1)+(2+2)+(3-3)+(4+4)+(5-5)+(6+6)... \end{eqnarray*}$

Klammern durch ihre Werte ersetzen:

$\begin{eqnarray*} [18]\qquad R_3-R_2 = 0+4+0+8+0+12+0+16... \end{eqnarray*}$

Nullen weglassen und 4 herausheben

$\begin{eqnarray*} [19]\qquad R_3-R_2 = 4 \cdot (1+2+3+4+5+6+7+8...) \end{eqnarray*}$

Es fällt auf, dass in der Klammer die rechte Seite von [15] steht, also kann man stattdessen auch die linke Seite von [15] hinschreiben:

$\begin{eqnarray*} [20]\qquad R_3-R_2 = 4 \cdot R_3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} R_2 \end{eqnarray*}$ durch seinen Wert ersetzen (siehe 2. Lemma):

$\begin{eqnarray*} [21]\qquad R_3-\frac{1}{4} = 4 \cdot R_3 \end{eqnarray*}$

Nach $\begin{eqnarray*} R_3 \end{eqnarray*}$ auflösen:

$\begin{eqnarray*} [22]\qquad R_3 = -\frac{1}{12} \end{eqnarray*}$

Zum Abschluss für $\begin{eqnarray*} R_3 \end{eqnarray*}$ die rechte Seite von [14] einsetzen, und fertig ist der

Beweis:

$\begin{eqnarray*} [23]\sum\limits_{n=1}^{\infty} n = -\frac{1}{12} \end{eqnarray*}$

In Worten: Zählt man alle natürlichen Zahlen zusammen, so lautet das Ergebnis -1/12.
Diesen Beweis kann man sich auch auf Youtube anschauen: https://www.youtube.com/watch?v=w-I6XTVZXww

Nun gibt es zur Ermittlung des Wertes von $\begin{eqnarray*} R_1 \end{eqnarray*}$ aber auch andere Ansätze:

Alternative A

$\begin{eqnarray*} [A2]\qquad R_1 = 1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1-1... \end{eqnarray*}$

Zwei aufeinanderfolgende Summanden zusammenfassen

$\begin{eqnarray*} [A3]\qquad R_1 = (1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)... \end{eqnarray*}$

Klammern auswerten

$\begin{eqnarray*} [A4]\qquad R_1 = 0+0+0+0+0+0+0+0+0+0+0+0... \end{eqnarray*}$

Diese Reihe konvergiert, hat einen Häufungspunkt, und verhält sich auch sonst höchst konservativ. Daher steht ihr Wert außer Streit:

$\begin{eqnarray*} [A5]\qquad R_1 = 0 \end{eqnarray*}$

Alternative B

$\begin{eqnarray*} [A2]\qquad R_1 = 1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1... \end{eqnarray*}$

Wieder bilde ich Zweiergruppen, lasse aber den ersten Summanden alleine stehen. In eine Klammer kommen also Nr.2 und 3, in die nächste Klammer Nr.4 und 5 usw.:

$\begin{eqnarray*} [B3]\qquad R_1 = 1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)... \end{eqnarray*}$

Klammern auswerten

$\begin{eqnarray*} [B4]\qquad R_1 = 1+0+0+0+0+0+0+0+0+0+0+0... \end{eqnarray*}$

Auch diese Reihe kann man sehr einfach mit klassischen Methoden berechnen:

$\begin{eqnarray*} [B5]\qquad R_1 = 1 \end{eqnarray*}$

Nun frage ich mich:
Warum soll mich der Weg, bei dem für $\begin{eqnarray*} R_1 \end{eqnarray*}$ der Wert 1/2 herauskommt, mehr überzeugen, als die Alternativen A und B?

Oder könnte ich nicht auch das machen?:

Alternative C
Sei
$\begin{eqnarray*} [C1]\qquad R_4 := \sum\limits_{n=1}^{\infty} 1 \end{eqnarray*}$

Also:

$\begin{eqnarray*} [C2]\qquad R_4 = 1+1+1+1+1+1+1+1+1+1... \end{eqnarray*}$

Dasselbe gleich nochmal (weils so schön ist, und wegen dem was danach kommt)

$\begin{eqnarray*} [C2']\qquad R_4 = 1+1+1+1+1+1+1+1+1+1... \end{eqnarray*}$

Ich addiere nun nach den Schema der Zeile [10] die Zeilen [C2] und [C2']:

$\begin{eqnarray*} [C3]\qquad R_4+R_4 = (1+1)+(1+1)+(1+1)+(1+1)... \end{eqnarray*}$

links vereinfachen, die Klammern auf der rechten Seite sind überflüssig:

$\begin{eqnarray*} [C4]\qquad 2 \cdot R_4 = 1+1+1+1+1+1+1+1+1+1... \end{eqnarray*}$

die rechten Seiten von [C2] und [C4] sind gleich, daher auch die linken:

$\begin{eqnarray*} [C5]\qquad 2 \cdot R_4 = R_4 \end{eqnarray*}$

Nach $\begin{eqnarray*} R_4 \end{eqnarray*}$ auflösen:

$\begin{eqnarray*} [C5]\qquad R_4 = \sum\limits_{n=1}^{\infty} 1 = 0 \end{eqnarray*}$

Den soeben berechneten Wert von $\begin{eqnarray*} R_4 \end{eqnarray*}$ brauche ich gar nicht (Die Reihe $\begin{eqnarray*} R_4 \end{eqnarray*}$ hingegen schon), aber ich wollte zeigen, dass man auch für $\begin{eqnarray*} R_4 \end{eqnarray*}$ mit den bereits verwendeten Methoden einen Wert berechnen kann, dass also ein Wert existiert.

Nun verwende ich nochmals die Zeile [C2], jedoch mit umgekehrtem Vorzeichen:

$\begin{eqnarray*} [C6]\qquad -R_4 = -1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1... \end{eqnarray*}$

Nach gewohnter Manier addiere ich die linken und rechten Seiten von [C2] und [C6]:

$\begin{eqnarray*} [C7]\qquad R_4-R_4 = (1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)... \end{eqnarray*}$

Links vereinfachen (jetzt wird klar, war um ich den konkreten Wert von $\begin{eqnarray*} R_4 \end{eqnarray*}$ gar nicht brauche, weil es nämlich wegfällt), rechts die überflüssigen Klammern weglassen

$\begin{eqnarray*} [C8]\qquad 0 = 1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1... \end{eqnarray*}$

Ich sehe, dass rechts genau dasselbe wie ganz oben in [2] steht, daher substituiere ich durch die linke Seite von [2]:

$\begin{eqnarray*} [C9]\qquad 0 = R_1 \end{eqnarray*}$

Oder andersrum, und Mithilfe von [1]:
$\begin{eqnarray*} [C10]\qquad R_1 = \sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n = 0 \end{eqnarray*}$

Ich bekomme also nur dadurch einen anderen Wert für $\begin{eqnarray*} R_1 \end{eqnarray*}$ , dass ich diesen Wert auf einem anderen Rechenweg berechne. Und da frage ich mich, warum ausgerechnet der, bei dem 1/2 herauskommt, der richtige sein soll.

Denn wenn ich von $\begin{eqnarray*} R_1 = 0 \end{eqnarray*}$ ausgehe, erhalten ich $\begin{eqnarray*} R_2 = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} R_3 = 0 \end{eqnarray*}$ . Nehme ich aber die Lösung aus Alternative B an ( $\begin{eqnarray*} R_1 = 1 \end{eqnarray*}$ ) komme ich zu $\begin{eqnarray*} R_2 = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} R_3 = -\frac{1}{6} \end{eqnarray*}$ . Gehe ich auch bei der Ermittlung von $\begin{eqnarray*} R_2 \end{eqnarray*}$ und dann auch bei $\begin{eqnarray*} R_3 \end{eqnarray*}$ andere Wege, erhalte ich einen ganzen Strauß möglicher Werte für $\begin{eqnarray*} R_3 \end{eqnarray*}$ , die mich alle gleichermaßen überzeugen (nämlich in Wahrheit gar nicht).

In der Einleitung erwähnte ich auch einen zweiten Beweis für

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty} n = -\frac{1}{12} \end{eqnarray*}$

und der geht so:

Zeta von s sei eine Funktion, die wir folgt definiert ist:

$\begin{eqnarray*} \zeta(s):=\sum_{n=1}^\infty \frac1{n^s} \end{eqnarray*}$

Setzt man für s den Wert -1 ein, ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} \zeta(-1)=\sum_{n=1}^\infty \frac1{n^{-1}} \end{eqnarray*}$

Der Summand kann vereinfacht werden:

$\begin{eqnarray*} \zeta(-1)=\sum_{n=1}^\infty n \end{eqnarray*}$

Das ist genau die Summe aller natürlichen Zahlen, also $\begin{eqnarray*} R_3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \zeta(-1)=\sum_{n=1}^\infty n = R_3 \end{eqnarray*}$

Bernhard Riemann hat die Funktion

$\begin{eqnarray*} \zeta(s):=\sum_{n=1}^\infty \frac1{n^s} \end{eqnarray*}$

auf die gesamte komplexe Zahlenebene verallgemeinert, und Srinivasa Ramanujan hat 1910 bewiesen, dass diese Riemannsche Zetafunktion an der Stelle -1 den Funktionswert -1/12 hat.

Mein Problem dabei: Ich kann nicht nachvollziehen, wie Riemann die Verallgemeinerung durchgeführt hat, und ich kenne den Beweis von Ramanujan nicht.

Ich bitte um eines der folgenden Dinge:

a) Erklären, warum der Beweis mit den Reihen glaubwürdiger ist als meine Alternativen
oder
b) Erklären, wie die Riemannsche Verallgemeinerung der Zeta-Funktion funktioniert, und die Ramanujansche Berechnung von $\begin{eqnarray*} \zeta(-1) \end{eqnarray*}$ vorrechnen
oder
c)
Auf eine andere, aber allgemein verständliche, Weise beweisen, dass die Summe aller natürlichen Zahlen gleich -1/12 ist.

Danke!

04.11.2015, 15:21

verwirrt1234

Warum ist 1+2+3+4+... gleich -1/12 ?

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