2n über k als Summe darstellen Beweis

04.11.2015, 16:00	analysis1	Auf diesen Beitrag antworten »
2n über k als Summe darstellen Beweis Hallo, es ist zu zeigen, dass $\begin{eqnarray} {2n \choose k} = \sum\limits_{j=0}^{k} {n \choose j}{n \choose k-j} \end{eqnarray}$ Dazu soll folgende Gleichung $\begin{eqnarray} (1+x)^{2n} = \left( (1+x)^{n} \right) ^{2} \end{eqnarray}$ (1) und der Binomische Lehrsatz $\begin{eqnarray} (a+b)^n = \sum\limits_{k=0}^{n} {n \choose k} a^k b ^{n-k} \end{eqnarray}$ verwendet werden. Meine Ideen: Bei der Gleichung (1) kann man ja jeweils die linke und rechte Seite mit Hilfe des Binomischen Lehrsatzes anders ausdrücken und zwar: $\begin{eqnarray} (1+x)^{2n} = \sum\limits_{k=0}^{2n} {2n \choose k } x^k \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} ((1+x)^{n})^{2} = \left( \sum\limits_{k=0}^{n} {n \choose k } x^k \right)^2 \end{eqnarray}$ Leider weiß ich ab hier genau nicht weiter. Natürlich würde ich über einen Ansatz in die richtige Richtung freuen.
05.11.2015, 01:10	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, dein Ansatz ist gut. Jetzt das in dem unteren Ausdruck das Cauchyprodukt verwenden.
05.11.2015, 15:56	analysis1	Auf diesen Beitrag antworten »
Leider ist die Cauchy-Produktformel (meinst du wohl) mir unbekannt. Habe zwar darüber in Wikipedia nachgelesen, aber würde einen Weg bevorzugen, der mit weniger Grundlagen auskommt. (1. Semester) Na, dann gehn wir mal 'ran... $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^{2n} {2n \choose k } x^k= \left( \sum\limits_{{k_1}=0}^{n} {n \choose {k_1} } x^{k_1} \right) \cdot \left( \sum\limits_{{k_2}=0}^{n} {n \choose {k_2} } x^{k_2} \right) \end{eqnarray}$ Linke Seite: Hier haben wir eine Summe aus Produkten mit einem Faktor $\begin{eqnarray} x^k \end{eqnarray}$ Rechte Seite: Auch hier muss so eine Summe heruaskommen aus Produkten mit einem Faktor $\begin{eqnarray} x^k \end{eqnarray}$ , was ja auch ersichtlich ist, da man ja die $\begin{eqnarray} x^k_1 \end{eqnarray}$ mit den $\begin{eqnarray} x^k_2 \end{eqnarray}$ multipliziert. Da $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ sonst nirgendwo vorkommt können sich zwei Summanden auch nicht gegenseitig wegheben; das heißt, dass wenn wir auf der linken Seite einen Summanden $\begin{eqnarray} ....x^k \end{eqnarray}$ haben, muss für dieses $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ der Summand auf der rechten Seite genauso aussehen. Auf der rechten Seite erhalten wir solch einen Summanden $\begin{eqnarray} x^k_1 \cdot x^k_2 = x^{k_1+k_2}=x^k \end{eqnarray}$ eben immer dann wenn $\begin{eqnarray} k=k_1+k_2 \end{eqnarray}$ . Das feste k lässt sich nun aber auf unterschiedliche Weise als Summe von zwei nat. Zahlen inkl. Null darstellen. So kommt der Koeffizient von $\begin{eqnarray} x^k \end{eqnarray}$ auf der rechten Seite zustande: Wenn wir ein $\begin{eqnarray} x^k_1 \end{eqnarray}$ und ein $\begin{eqnarray} x^k_2 \end{eqnarray}$ multiplizieren, dann auch ein $\begin{eqnarray} n\choose k_1 \end{eqnarray}$ und ein $\begin{eqnarray} n\choose k_2 \end{eqnarray}$ miteinander. Der Summand hat also für jede Möglichkeit diese Form $\begin{eqnarray} {n\choose k_1 } {n\choose {k_2} } x^{k_1+k_2} \end{eqnarray}$ . Nicht vergessen dass $\begin{eqnarray} k=k_1+k_2 \end{eqnarray}$ . Nennen wir so $\begin{eqnarray} j:= k_1 \end{eqnarray}$ dann ist $\begin{eqnarray} k_2=k-j \end{eqnarray}$ Also $\begin{eqnarray} {n\choose j } {n\choose {k-j} } x^{k} \end{eqnarray}$ . Da sich die Zahl k auf unterschiedliche Weise als Summe zweier natürlicher Zahlen inkl. 0 darstellen lässt, sind alle mögichen Werte gerade der Term von $\begin{eqnarray} j=0...k \end{eqnarray}$ , Mit der Überlegung von vorhin, dass die Summanden eindeutig kennzeichenbar durch ihr Koeff x^k sind können wir folgern, dass für jeden Summand auf der linken Seite (ein beliebiges k) sein Faktor (also ohne das x^k) $\begin{eqnarray} {{2n}\choose{k}} \end{eqnarray}$ der entsprechende Summand (nach Ausmultiplizieren der Summanden, also jeden mit jedem zu multiplizieren) genau so heißen muss: Das ist $\begin{eqnarray} \sum\limits_{j=0}^{k} {n\choose j } {n\choose {k-j} } \end{eqnarray}$ . Und das ist genau das was zu zeigen muss oder kurz: $\begin{eqnarray} {2n \choose k} = \sum\limits_{j=0}^{k} {n \choose j}{n \choose k-j} \end{eqnarray}$

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »