Stammfunktion Integral sin^2(wt)dt

04.11.2015, 17:03

123Felix123

Stammfunktion Integral sin^2(wt)dt

Ich habe noch eine Frage:

Partielle Integration des Integrals und hoffe die partielle Integration damit dann ggf. mal abschließend zu verstehen.

$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b} \! sin²(wt) \, dt \end{eqnarray*}$

Dass das ein "Standard-Integral" ist, das in der Formelsammlung steht, hilft mir leider nicht - da wir keine Formelsammlung verwenden dürfen. Ich habe immer den Fehler gemacht mich nie abschließend damit zu beschäftigen.

Zunächst habe ich das Integral umgeschrieben als:

$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b} \! sin²(wt) \, dt = \int_{a}^{b} \! sin(wt)*sin(wt) \, dt \end{eqnarray*}$

Danach folgendes definiert:

$\begin{eqnarray*} u=sin(wt) \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} u'=wcos(wt) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v=-\frac{1}{w}*cos(wt) \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} v'=sin(wt) \end{eqnarray*}$

Nun gilt ja: $\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b} \! u*v' \, dx = u*v-\int_{a}^{b} \! u'*v \, dx \end{eqnarray*}$

die ganze Geschichte eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} (-\frac{1}{w})*sin(wt)*cos(wt)-\int_{a}^{b} \! w*cos(wt)*(-\frac{1}{w})*cos(wt)\, dt \end{eqnarray*}$

dann habe ich das $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ rausgeschmissen und es folgt

$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b} \! sin(wt)*sin(wt) \, dt \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} (-\frac{1}{w})*sin(wt)*cos(wt)+\int_{a}^{b} \! cos(wt)*cos(wt)\, dt \end{eqnarray*}$

Und jetzt ist leider Feierabend. Ich habe im Borad schon gesucht, es aber leider nicht gefunden. Könnte mir jemand erklären wie ich weitermache? Das wäre klasse..

Danke! Viele Grüße

Jetzt müsste es passen. Ich habe einen Schreibfehler vom Blatt in LaTeX korrigiert.

Zwei Beiträge zusammengefasst, damit Antwortzähler auf Null steht. Steffen

04.11.2015, 17:42

HAL 9000

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Zitat:

Original von 123Felix123
$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b} \! sin(wt)*sin(wt) \, dt \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} (-\frac{1}{w})*sin(wt)*cos(wt)+\int_{a}^{b} \! cos(wt)*cos(wt)\, dt \end{eqnarray*}$

Der trigonometrische Pythagoras $\begin{align*} \cos^2(\omega t) = 1-\sin^2(\omega t) \end{align*}$ löst hier den Knoten. Augenzwinkern

Wenn man allerdings sowieso sowas wie Additionstheoreme einsetzt, warum nicht gleich am Anfang: Es ist $\begin{align*} \sin^2(\omega t) = \frac{1-\cos(2\omega t)}{2} \end{align*}$ , was man (von der "kleinen" linearen Substitution im Kosinusterm abgesehen) unmittelbar integrieren kann.

04.11.2015, 18:12

123Felix123

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Hallo HAL,

erstmal vielen Dank für die Antwort. Leider stehe ich weiterhin auf den Schlauch. Also die trigonometrische Beziehung ist erstmal super hilfreich - aber wie integriere ich denn $\begin{eqnarray*} 1-sin²(wt),dt \end{eqnarray*}$ ?

Da fehlt mir gerade der Durchblick. Könntest Du mir helfen?
Vielen Dank!

04.11.2015, 18:31

Mathema

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Zitat:

Da fehlt mir gerade der Durchblick.

Das scheint mir auch so. Du musst lediglich das Integral $\begin{eqnarray*} \int 1 dt \end{eqnarray*}$ lösen. Und das ist doch nun nicht so schwierig!

04.11.2015, 18:42

HAL 9000

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@Mathema

Es hilft nichts, bei den meisten Leuten muss man es direkt vor Augen führen. Auch wenn es schon in zig Threads hier im Board besprochen wurde, es wachsen ja immer wieder neue Fragesteller nach. Augenzwinkern

@123Felix123

Du verstehst mich nicht richtig. Du sollst nicht $\begin{align*} 1-\sin^2(\omega t) \end{align*}$ integrieren, sondern diesen Term rechts in die zitierte letzte Gleichung einsetzen. Dann steht da

$\begin{align*} {\color{red}\int\limits_a^b \sin^2(\omega t) ~ \dd t} = \left(-\frac{1}{\omega}\cdot \sin(\omega t)\cdot \cos(\omega t) \right) \bigg|_{t=a}^b ~+~ \int\limits_a^b 1 ~ dt ~-~ {\color{red}\int\limits_a^b \sin^2(\omega t) ~ \dd t} \end{align*}$

D.h., wir suchen ja den Integralwert $\begin{align*} {\color{red}I:=\int\limits_a^b \sin^2(\omega t) ~ \dd t} \end{align*}$ , für den gilt dann also

$\begin{align*} {\color{red} I} = \left(-\frac{1}{\omega}\cdot \sin(\omega t)\cdot \cos(\omega t) \right) \bigg|_{t=a}^b ~+~ \int\limits_a^b 1 ~ dt ~-~ {\color{red} I} \end{align*}$ .

Keine Idee, wie man das nach $\begin{align*} {\color{red} I} \end{align*}$ auflöst?

04.11.2015, 19:11

123Felix123

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offengestanden, nicht wirklich... sorry..

so in die Richtung?

$\begin{align*} {\color{red} 2I} = \left(-\frac{1}{\omega}\cdot \sin(\omega t)\cdot \cos(\omega t) \right) \bigg|_{t=a}^b ~+~ \int\limits_a^b 1 ~ dt \end{align*}$ .

$\begin{align*} {\color{red} 2I} = \left(-\frac{1}{\omega}\cdot \sin(\omega t)\cdot \cos(\omega t) \right) \bigg|_{t=a}^b ~+t \end{align*}$ .

Sorry, ich bemühe mich, aber nicht ganz meine Stärke... Danke für die Geduld!!

04.11.2015, 19:26

Mathema

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Richtig.

Dividiere nun deine Gleichung durch 2 und du hast eine Stammfunktion gefunden. Um es hübscher zu schreiben kannst du noch folgendes verwenden:

$\begin{eqnarray*} \sin(x)\cos(x)=\frac 1 2 \sin(2x) \end{eqnarray*}$

edit:@HAL: Da hast du wohl recht. Deine Aufbereitung dessen finde ich übrigens sehr gut gelungen. Da war das offensichtliche wirklich nicht mehr zu übersehen.

04.11.2015, 19:45

123Felix123

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Danke Leute!

04.11.2015, 19:55

HAL 9000

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Was mir schon oben aufgefallen war:

Du schreibst immer ein bestimmtes Integral $\begin{align*} \int_a^b \end{align*}$ , rechnest dann aber so, als würde ein unbestimmtes Integral $\begin{align*} \int \end{align*}$ da stehen. verwirrt

Ist es am Ende so, dass du das $\begin{align*} \int_a^b \end{align*}$ gedankenlos vom Formeleditor übernommen hast? verwirrt

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