Vollständige Induktion 6^n - 5n + 4 ist durch 5 teilbar

04.11.2015, 18:37

LucaMa

Vollständige Induktion 6^n - 5n + 4 ist durch 5 teilbar

Meine Frage:
$\begin{eqnarray*} 6^n-5n+4 \end{eqnarray*}$ ist durch 5 teilbar - Beweis vollst. Induktion
Hallo Matheboarder,
das neue Semester hat begonnen und somit auch meine Fragen, bzw meine Ratlosigkeit.
Mit Beweisen tue ich mich chronisch schwer.
Hier meine Aufgabe, bzw der erste Teil meiner Aufgabe.

Beweise sie mit vollständiger Induktion: Für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 6^n-5n+4 \end{eqnarray*}$ ist durch 5 teilbar

Meine Ideen:
Induktionsanfang:
Die Aussage ist wahr für n=1

Induktiosbehauptung
$\begin{eqnarray*} 6^(n+1)-5*(n+1)+4 \end{eqnarray*}$

Induktionsbeweis

$\begin{eqnarray*} 6^{n+1}-5*(n+1)+4 \end{eqnarray*}$ so und hier hänge ich nun. Den nächsten Schritt bekomme ich evtl auch noch hin, dieser sähe dann (so glaube ich) so aus:
$\begin{eqnarray*} (6^n * 6)-5n-1 \end{eqnarray*}$

So und nun weis ich absolut nicht wie ich von hier aus die Induktionsbehauptung beweisen kann. Vllt kann mir hier ja jemand auf die Sprünge helfen und mir noch ein paar allgemeine Tipps/Kniffe bzgl dervollständigen Induktion geben und zeigen.

Gruß
Luca

04.11.2015, 18:44

Mathema

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Hallo,

folgendes hast du gut erkannt:

$\begin{eqnarray*} 6^{n+1}=6\cdot6^n \end{eqnarray*}$

Beachte nun:

$\begin{eqnarray*} 6=5+1 \end{eqnarray*}$

Kommst du damit weiter?

04.11.2015, 19:01

LucaMa

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$\begin{eqnarray*} 6=5+1 \end{eqnarray*}$

Genau das habe ich in anderen Foren zu ähnlichen Aufgaben bereits gefunden, kann es jedoch nicht nachvollziehen bzw. anwenden.

Ich vermute es ist total stupide und simpel, leider stehe ich total auf dem Schlauch.

Danke für die schnelle Antwort!

04.11.2015, 19:06

Mathema

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Du kannst nicht nachvollziehen, dass 5+1=6 ist? Das hoffe ich nicht! Es scheint eher wohl an der Anwendung zu liegen. Du hast:

$\begin{eqnarray*} 6^{n+1}-5(n+1)+4=6\cdot6^n-5(n-1)+4=(5+1)\cdot 6^n-5(n+1)+4 \end{eqnarray*}$

Jetzt multipliziere die Klammern aus, das Distributivgesetz sollte aus der Schule bekannt sein:

$\begin{eqnarray*} a(b+c)=ab+ac \end{eqnarray*}$

Was erhältst du?

04.11.2015, 19:20

LucaMa

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Wow, das war aufschlussreich!

Folgendes Ergebnis Beweist dann bereits die Behauptung?:

$\begin{eqnarray*} (6^n - 5n + 4) + 5(6^n - 1) \end{eqnarray*}$

Dass der erste Summand durch 5 teilbar ist wurde ja bereits durch die Vorraussetzung bewiesen richtig?

Muss für den zweiten Summand noch zusätzlich bewiesen werden, dass $\begin{eqnarray*} 5(6^n - 1) \end{eqnarray*}$ durch 5 teilbar ist oder $\begin{eqnarray*} (6^n - 1) \end{eqnarray*}$ ?

04.11.2015, 19:23

Mathema

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Zitat:

Dass der erste Summand durch 5 teilbar ist wurde ja bereits durch die Vorraussetzung bewiesen richtig?

Richtig. Dieser Summand ist durch 5 laut Voraussetzung teilbar.

Zitat:

Muss für den zweiten Summand noch zusätzlich bewiesen werden, dass $\begin{eqnarray*} 5(6^n - 1) \end{eqnarray*}$ durch 5 teilbar ist

Nein - das ist wohl offensichtlich. Augenzwinkern