Gleichungssystem nicht-/linear

04.11.2015, 20:54

derM.

Gleichungssystem nicht-/linear

Meine Frage:
ist meine Gleichungssystem linear?
$\begin{eqnarray*} -y^{2}*e^{-x} +2ax =0 2y*e^{-x} +2ay =0 x^2+y^2-1=0 \end{eqnarray*}$

danke im Voraus

Meine Ideen:
ich würde sagen: nicht linear da eine Exponentialfunktion vorkommt?

04.11.2015, 21:05

HAL 9000

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Ja, nichtlinear, aber dennoch gut lösbar.

04.11.2015, 21:34

derM.

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Die Aufgabe lautet: berechne die Extremstellen der Funktion $\begin{eqnarray*} f(x,y) =y^{2}e^{-x}+1 \end{eqnarray*}$ unter der Nebenbedingung x^2+y^2=1 --> g(x,y)=x^2+y^2-1

a ersetzt lamda bei mir

!Methode Lagrangeschen Multiplikatoren!

$\begin{eqnarray*} L_{x}= -y^{2}*e^{-x} +2ax =0 L_{y}= 2y*e^{-x} +2ay =0 L_{a}= x^2+y^2-1=0 \end{eqnarray*}$

erste 2 Gleichungen nach a umformen!

$\begin{eqnarray*} L_{x}-->a =\frac{ y^{2}*e^{-x}}{2x} L_{y}-->a =-e^{-x} \end{eqnarray*}$

gleichsetzen und nach y umformen ergibt:
$\begin{eqnarray*} \frac{ y^{2}*e^{-x}}{2x} =-e^{-x} y^{2}*e^{-x} =-e^{-x}2x y = \sqrt{-2x} \end{eqnarray*}$

ich hab mal weiter gerechnet:
$\begin{eqnarray*} x^{2}+y^{2}-1=0 einsetzen ergibt: x^{2}+(\sqrt{-2x} )^{2}-1=0 x^{2}-2x-1=0 x_{1}=1+\sqrt{2} x_{2}=1-\sqrt{2} y_{1}=\sqrt{-2-\sqrt{8} } y_{2}=\sqrt{-2+\sqrt{8} } \end{eqnarray*}$

soweit richtig?

04.11.2015, 21:40

HAL 9000

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Mehrere Unsauberkeiten führen dazu, dass du mit $\begin{align*} y_2 \end{align*}$ nur eine von tatsächlich vier Lösungen gefunden hast (dein $\begin{align*} y_1 \end{align*}$ ist keine reelle Zahl).

Zitat:

Original von derM.
$\begin{eqnarray*} L_{y}-->a =-e^{-x} \end{eqnarray*}$

Hier dividierst du einfach durch $\begin{align*} y \end{align*}$ und verlierst dadurch alle Lösungen mit $\begin{align*} y=0 \end{align*}$ , wovon es tatsächlich zwei gibt.

Zitat:

Original von derM.
$\begin{eqnarray*} y_{1}=\sqrt{-2-\sqrt{8} } \end{eqnarray*}$

Wie gesagt: Keine Lösung, da $\begin{align*} -2-\sqrt{8}<0 \end{align*}$ .

Zitat:

Original von derM.
$\begin{eqnarray*} y_{2}=\sqrt{-2+\sqrt{8} } \end{eqnarray*}$

Beim bloßen Wurzelziehen verlierst du eine weitere Lösung: Auch $\begin{align*} y=-\sqrt{-2+\sqrt{8}} \end{align*}$ ist denkbar.

04.11.2015, 21:54

derM.

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Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von derM.
$\begin{eqnarray*} y_{2}=\sqrt{-2+\sqrt{8} } \end{eqnarray*}$

Beim bloßen Wurzelziehen verlierst du eine weitere Lösung: Auch $\begin{align*} y=-\sqrt{-2+\sqrt{8}} \end{align*}$ ist denkbar.

$\begin{eqnarray*} y_{2/1}=+\sqrt{-2+\sqrt{8} } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y_{2/2}=-\sqrt{-2+\sqrt{8} } \end{eqnarray*}$

es fehlen noch zwei?

Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von derM.
$\begin{eqnarray*} L_{y}-->a =-e^{-x} \end{eqnarray*}$

Hier dividierst du einfach durch $\begin{align*} y \end{align*}$ und verlierst dadurch alle Lösungen mit $\begin{align*} y=0 \end{align*}$ , wovon es tatsächlich zwei gibt.

das verstehe ich nicht genau sry, kannst mir auf die Sprünge helfen?

04.11.2015, 22:01

HAL 9000

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Ich war eigentlich klar und deutlich: Du darfst nur durch $\begin{align*} y \end{align*}$ dividieren, wenn $\begin{align*} y\neq 0 \end{align*}$ ist!!!

Konsequenz: Deine Überlegungen gelten nur für eben jenen Fall $\begin{align*} y\neq 0 \end{align*}$ . Den anderen Fall $\begin{align*} y=0 \end{align*}$ musst du extra noch auf Lösungen untersuchen - was du bisher nicht getan hast. unglücklich

P.S.: Genau genommen hättest du auch die erste Gleichung nicht einfach durch $\begin{align*} x \end{align*}$ dividieren dürfen, nur hatte dort deine Nachlässigkeit keine Konsequenzen in Hinblick versäumter Lösungen.

04.11.2015, 22:46

derM.

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$\begin{eqnarray*} L_{y}= 2y*e^{-x} +2ay =0 2y*(e^{-x} +a)=0 \end{eqnarray*}$

fall 2:
y=0

einsetzen in 3te gls:
x^2=1
x=+-1

(1,0)
(-1,0)
(1-sqrt(2), +sqrt(-2+sqrt(8))
(1-sqrt(2), -sqrt(-2+sqrt(8))

stimmts jetzt?

04.11.2015, 23:24

HAL 9000

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Ja - genau genommen muss man noch prüfen, ob es zu jedem (x,y)-Paar auch ein passendes a gibt, aber das gibt es hier.

04.11.2015, 23:25

derM.

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dein für Hilfe Gott

, hab jetzt alles Augenzwinkern

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