unendl. harmonische Reihe mit Faktor <1: Divergenz

05.11.2015, 22:42	Chemiestudent2,718	Auf diesen Beitrag antworten »
unendl. harmonische Reihe mit Faktor <1: Divergenz Meine Frage: Hallo. Anscheined dürfte es egal sein, wie klein der Faktor ist mit dem man eine harmonische Reihe multipliziert, diese erhaltene Reihe ist immer divergent (?) Also $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{\infty } \frac{1}{ak} = \infty \end{eqnarray}$ mit a ist beliebig reelle Zahl. Kann man das iregendwie zeigen/beweisen außer mit dem Cauchy-Kriterium, sprich einfacher ? Vielen Dank ps: außer mit dem Minorantenkriterium Meine Ideen:* keine
05.11.2015, 23:11	Hubert1965	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: unendl. harmonische Reihe mit Faktor <1: Divergenz Ich definiere zwei Reihen: $\begin{eqnarray} R_1 := \sum\limits_{k=1}^{\infty } \frac{1}{k} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} R_2 := \sum\limits_{k=1}^{\infty } \frac{1}{a\cdot k} \end{eqnarray}$ Von $\begin{eqnarray} R_1 \end{eqnarray}$ weist du bereits, dass sie divergiert. Das ist übrigens etwas anderes als zu behaupten ihr Wert wäre $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ . »Eine Reihe divergiert« heißt nicht anderes als »Man kann (mit herkömmlichen Methoden) einen Wert berechnen.« Ich wandle $\begin{eqnarray} R_2 \end{eqnarray}$ schrittweise um: Zuerst den Bruch in ein Produkt zweier Brüche zerlegen: $\begin{eqnarray} R_2 = \sum\limits_{k=1}^{\infty } \frac{1}{a}\cdot \frac{1}{k} \end{eqnarray}$ Da das Distributivgesetz auch für Summen mit beliebig vielen Summanden gilt, kann man den konstanten Faktor aus der Summe herausheben. $\begin{eqnarray} R_2 = \frac{1}{a}\cdot \sum\limits_{k=1}^{\infty } \frac{1}{k} \end{eqnarray}$ Jetzt fällt auf, dass die Summe auf der rechten Seite genau $\begin{eqnarray} R_1 \end{eqnarray}$ ist. Also: $\begin{eqnarray} R_2 = \frac{1}{a}\cdot R_1 \end{eqnarray}$ Wenn $\begin{eqnarray} R_1 \end{eqnarray}$ divergiert, divergiert zwangsweise auch $\begin{eqnarray} \frac{1}{a}\cdot R_1 \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} R_2 \end{eqnarray}$ . Ich formulier es mal etwas lockerer: Wenn $\begin{eqnarray} R_1 = \infty \end{eqnarray}$ (was eine Fehlinterpretation ist, aber ausdrückt, was du vermutlich meinst), dann ist auch $\begin{eqnarray} \frac{1}{a}\cdot R_1 = \infty \end{eqnarray}$ . Weil $\begin{eqnarray} x\cdot \infty = \infty \end{eqnarray}$ , egal was $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ ist.
06.11.2015, 03:52	rg	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: unendl. harmonische Reihe mit Faktor <1: Divergenz Es gilt stets $\begin{eqnarray} \sum_{k=p}^n\lambda a_k=\lambda\sum_{k=p}^na_k. \end{eqnarray}$ Soweit die Grenzwertsaetze anwendbar sind, folgt fuer $\begin{eqnarray} n\to\infty \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sum_{k=p}^\infty\lambda a_k=\lambda\sum_{k=p}^\infty a_k. \end{eqnarray}$ Die Grenzwertsaetze gelten auch fuer bestimmte Divergenz mit den ueblichen Rechenregeln in $\begin{eqnarray} \overline{\mathbb{R}}=\mathbb{R}\cup\{\pm\infty\} \end{eqnarray}$ . Z.B. ist $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{-5n}=-\frac{1}{5}\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}=-\frac{1}{5}\cdot\infty=-\infty. \end{eqnarray}$ Das kann man ganz straight und ohne jegliche Skrupel so machen. Als Merkregel gilt: Konstante Faktoren $\begin{eqnarray} \ne0 \end{eqnarray}$ kann man aus Reihen immer rausziehen. Man aendert das Verhalten (Konvergenz, bestimmte Divergenz, unbestimmte Divergenz) nie und in den ersten beiden Faellen garantieren die Grenzwertsaetze die Gleichheit.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »