Beweis: keine rationale Zahl |
| 06.11.2015, 11:18 | Schlosshöfen7 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
| Beweis: keine rationale Zahl Zeige, dass es keine rationale Zahl x für x^3=3 gilt Meine Ideen: Ich will das mit dem Widerspruchsbeweis zeigen, komm aber nicht voran X ist eine rationale Zahl --->> x=m/n --->> 3= m^3/n^3 | * n^3 --->> 3*n^3 = m^3 Jetzt muss man glaub ich den Teiler von 3 finden aber das verstehe ich nicht |
||||||||||
| 06.11.2015, 12:11 | sixty-four | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Bei kannst du noch annehmen, dass m und n tellerfremd sind. Wenn nicht, könntest du solange kürzen, bis es so ist. |
||||||||||
| 06.11.2015, 19:59 | Schlosshöfen7 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Aber wie macht man das denn?? Das verstehe ich ja nicht |
||||||||||
| 06.11.2015, 20:39 | sixty-four | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Wenn du deine gemachte Annahme weiter verfolgst, bedeutet das, dass durch 3 teilbar sein muss, denn es lässt sich ja darstellen als Produkt mit einer 3 als einem Faktor. Jetzt musst du dir überlegen was es für die Zahl m bedeutet, wenn ihre dritte Potenz durch 3 teilbar ist. Versuche mal zu ermitteln, welchen Rest m dann bei der Division durch 3 lässt. Dazu gehst du am besten so vor: Du unterscheidest 3 Fälle m lässt bei Division durch 3... 1. ... den Rest 0 2. ... den Rest 1 3. ... den Rest 2 Für jeden dieser Fälle rechnest du jetzt mal aus, welchen Rest jeweils die dritte Potenz von m lässt. |
||||||||||
| 06.11.2015, 21:01 | Schlosshöfen7 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Tut mir leid aber das mit der Division hab ich überhaupt nicht verstanden :/ Den Rest von m ??? |
||||||||||
| 06.11.2015, 21:24 | sixty-four | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Wenn du eine ganze Zahl durch 3 dividierst, gibt es bezüglich des Restes genau 3 Fälle, nämlich: Der Rest ist 0 (dann sagt man auch sie sei durch 3 teilbar), sie läßt den Rest von 1 oder sie lässt den Rest von 2. Eine weitere vierte Möglichkeit gibt es nicht. Deshalb solltest du diese 3 Fälle betrachten und ausrechnen, was das für die dritte Potenz der Zahl bedeutet. Beispiel: Die Zahl 15 ist ohne Rest durch 3 teilbar. Die dritte Potenz von 15 ist 3375. Diese Zahl ist auch durch 3 teilbar. Kannst du das verallgemeinern? Hinweis: eine Zahl m, die ohne Rest durch 3 teilbar ist hat die Darstellung: m=3k mit einer anderen ganzen Zahl k. Eine Zahl m, die bei Division durch 3 den Rest 1 lässt, hat die Darstellung m=3k+1 u.s.w. Jetzt musst du ausrechnen, was es jeweils für die dritte Potenz von m bedeutet. Anders gefragt: Wenn m durch 3 teilbar ist, welchen Rest lässt dann bei Division durch 3? |
||||||||||
| Anzeige | ||||||||||
|
|
||||||||||
| 06.11.2015, 21:43 | Schlosshöfen7 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
warum ist das denn so das es keine vierte Möglichkeit gibt, hab grad ein paar ausprobiert es kommt immer nur ein Rest mit 3. würde ich zB eine Zahl durch 5 teilen gibt es dann nur 5 Möglichkeiten?? So richtig ?? m^3=3n | : 3 m^3: 3 =n Wenn m durch 3 teilbar ist muss ja dann m^3 auch durch 3 teilbar sein Dann bleibt ja dann kein Rest oder ?? Was bedeutet das denn wenn m das gleiche wie m^3 ist ?? |
||||||||||
| 06.11.2015, 22:03 | sixty-four | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Das kommt daher, weil die Reste periodisch sind. Wenn du eine Zahl durch 3 teilst, kannst du keinen Rest von 3 bekommen, denn ein Rest von 3 lässt sich ja wieder durch 3 dividieren. Dann ist der Quotient um 1 größer. Mach dir das doch am Beispiel klar: 6 lässt bei Division durch 3 den Rest 0, 7 -> 1, 8->2, 9->0, 10 -> 1,11->2 usw. Du kannst keine Reste größer als 2 bekommen.
Ja, aus dem selben Grund. weil die Reste sich periodisch verhalten. Wenn due eine Zahl durch p teilst, kannst du nur die Reste 0,1,2,...,p-1 bekommen.
Dann zeige es doch mal.
Diesen Satz vergesse ich mal. Wenn zwei Zahlen bei Division durch 3 denselben Rest lassen, sind sie noch lange nicht gleich. |
||||||||||
| 06.11.2015, 22:13 | sixty-four | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Damit du dich nicht verzettelst: Du weißt, dass durch 3 teilbar ist, denn Jetzt hatte ich dir empfohlen, zu ermitteln, was es für m selbst bedeutet, wenn seine 3.Potenz durch 3 teilbar ist. Dazu betrachte die 3 Fälle: 1.Fall: m=3k (das ist der Fall, wo m durch 3 teilbar ist) 2.Fall: m=3k+1 3.Fall: m=3k+2 Jetzt rechnest du für jeden Fall die dritte Potenz von m aus. Das geht nach dem binomischen Lehrsatz, der für die dritte Potenz lautet: Und dann guckst du mal, welchen Rest in jedem dieser Fälle bei der Division durch 3 lässt. |
||||||||||
| 06.11.2015, 22:17 | Schlosshöfen7 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ahso okay das mit den Resten hab ich jetzt verstanden Ich dachte das wäre schon ein Beweis m^3=3n | : 3 m^3: 3 =n ??? Okay ich Weiß nicht sorecht wie man bei so einem Beweis vorgeht. Das fällt mir sehr schwer :/ |
||||||||||
| 06.11.2015, 22:19 | Schlosshöfen7 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Oh deine Antwort hab ich nicht gesehen |
||||||||||
| 06.11.2015, 22:29 | Schlosshöfen7 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
1. m^3= 3*k 2. m^3= 3*k+1 3.m^3=3*k+2 Dann ist ja das selbe nur mit hoch 3 ?? Das mit dem binomischen SATZ hab ich nicht verstanden. Tut mir leid dass ich solange brauche um das zu verstehen :/ |
||||||||||
| 07.11.2015, 07:59 | sixty-four | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Wie wäre es, wenn du dir meinen letzten Beitrag von gestern einmal in aller Ruhe durchliest und zu verstehen versuchst? Ich habe geschrieben, dass du 3 Fälle betrachten mögest. Der erste Fall ist: m=3k, also m ohne Rest durch 3 teilbar. Woher zauberst du jetzt die Gleichung m^3=3k ? Deine Argumentation muss lauten: Wenn ist, dann ist Das bedeutet: Wenn m ohne Rest durch 3 teilbar ist, so ist es auch , denn ist ebenfalls durch 3 teilbar, weil die 27 den Faktor 3 enthält. Für deinen Beweis wäre es von großem Gewinn, wenn du den umgekehrten Sachverhalt zeigen kannst, nämlich: Wenn durch 3 ohne Rest teilbar ist, dann muss es auch m sein. Das kannst du im Moment noch nicht behaupten, denn du hast noch nicht gezeigt, dass in keinem der anderen beiden Fälle (m=3k+1 und m=3k+2) die dritte Potenz nicht auch ohne Rest durch 3 teilbar ist. Du musst also im 2. Fall ausrechnen. Das gleiche machst du für m=3k+2. Dann kannst du sehen, welcher Rest bei Division durch 3 bleibt. Einen Ausdruck der Form 3k+1 nennt man ein Binom. Wenn man dieses in die dritte Potenz erheben will benötigt man den binomischen Lehrsatz. |
||||||||||
|
|
Verwandte Themen
| Die Beliebtesten » |
|
| Die Größten » |
|
| Die Neuesten » |
|
