Summenformel 1/(n-1)n expl. & Konvergenz

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NFIMathe Auf diesen Beitrag antworten »
Summenformel 1/(n-1)n expl. & Konvergenz
Salve, mir fehlt irgendwie eine Eingebung zu einem Ansatz wie ich an folgende Aufgabe heran gehen kann:

Bestimmen Sie eine explizite Darstellung für die Summe:

Sn:=

Gg welchen Wert konvergiert Sn im Grenzfall n->

Der "/" nach dem sollte ein "\", also "ohne" sein.

Konvergenz ist plausibel, das Ding geht gegen 0, allerdings konnte ich im Script nirgendwo was finden zur Folgenkonvergenz und einfach auf die Defintion aus dem "Tut ANA1 & LAG1" (Modler, Kreh) zurück greifen darf ich ja nicht.
Zudem weis ich gerade nicht so recht was mit einer expliziten Darstellung gemeint ist. ?
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Summenformel 1/(n-1)n expl. & Konvergenz
Zitat:
Original von NFIMathe
Konvergenz ist plausibel, das Ding geht gegen 0

Welches "Ding" geht gegen 0?

Wie würdest du den Ausdruck denn mithilfe eines Summenzeichens schreiben?
Widderchen Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

eine explizite Darstellung der von dir angegebenen Partialsumme ist eine "summenfreie" Darstellung, das bedeutet, du sollst eine Darstellung dieser Summe ohne Angabe eines Summenzeichens herleiten.

Dazu musst du eine Partialbruchzerlegung durchführen. Für welche Parameter A und B gilt also:

??

Anschließend sollte eine Teleskopsumme erkennbar werden.

Ich hoffe, dieser Beitrag war hilfreich.

Viele Grüße
Widderchen
NFIMathe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Summenformel 1/(n-1)n expl. & Konvergenz
Zitat:
Original von 10001000Nick1
Welches "Ding" geht gegen 0?

Wie würdest du den Ausdruck denn mithilfe eines Summenzeichens schreiben?


Sn -> 0 wenn n ->

Danke für den Tip mit der Partialbruchzerlegung und dem Hinweis der Teleskopsumme, denke damit sollten wir was anfangen können.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

ist eine Summe sämtlich positiver Werte, d.h., von zu kommt ein weiterer positiver Summand hinzu, damit ist die Folge streng monoton wachsend. Kannst du mir mal verraten, wie eine solche positive streng monoton wachsende Folge gegen Null konvergieren soll? Vermutlich verwechselst du das damit, dass die Summanden für gegen Null konvergieren, aber doch nicht die Summe ! unglücklich
NFIMathe Auf diesen Beitrag antworten »

Korrekt Hal, danke für den Hinweis auf meine Dämlichkeit, meine Fresse, ich geh' ersma inne Ecke, ne Runde schämen und Kaffee tanken...
 
 
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht sollten alle Mimosen vorher bekannt geben, dass sie mit Samthandschuhen angefasst werden wollen. Nichts für mich, aber es gibt ja auch andere, sicher viel verständnisvollere Helfer hier im Thread. Wink
NFIMathe Auf diesen Beitrag antworten »

Quark, ich war nur sauer auf mich selbst und meine Kurzsichtigkeit, ich hatte halt nur den Bruch gesehen, der gegen 0 konvergiert, was ja nur bedeutet dass die Teile, die dazu addiert werden immer kleiner werden, die Summe an sich aber gegen unendlich geht.

Zur Partialbruchzerlegung:



Ich merke gerade das es eine ungünstige Weile her ist seit ich das Abi gemacht hatte...
Mein Gedankengang war jetzt das n^-1 in den Nenner zu bringen, oder hatte ich schon bei dem Schritt von 1/n auf n^-1 den Fehler gemacht?
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von NFIMathe


Bis dahin ist es richtig. Was du danach machst, ist eigentlich nicht Sinn der Partialbruchzerlegung. Du willst ja erreichen, dass du den Term, den du gerade umformst, am Ende mit dem urspünglichen Bruch vergleichen kannst. Da ist es wenig hilfreich, wenn du den Nenner veränderst, der ja schon die richtige Form hat.

Das Ziel ist es, den Term auf die Form zu bringen. Also: In dem Bruch erstmal den Zähler ausmultiplizieren und dann "alles mit " zusammenfassen; und die anderen Summanden ohne auch.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von NFIMathe
Korrekt Hal, danke für den Hinweis auf meine Dämlichkeit, meine Fresse, ich geh' ersma inne Ecke, ne Runde schämen und Kaffee tanken...


@ HAL 9000

Der hat es vermutlich ernst gemeint. Eigentlich ein Vorbild an Einsicht ... fast schon selbstzerstörerisch.
NFIMathe Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von 10001000Nick1
Das Ziel ist es, den Term auf die Form [...]


Ok, da ich ja beide Nenner gleich habe verzichte ich mal auf die Bruchdarstellung.

An + Bn - B = 1 (mit ! über dem =)
n(A+B) + 1 * (-B) = 1

Wenn ich das jetzt nach Partialbruchzerlegung in ein Gleichungssystem auflöse, dann müsste ich doch folgendes Erhalten:

I: A + B = 1
II: -B = 0

Da braucht man nicht mal mehr wirklich rechnen, B = 0 und A = 1 womit die Folge gegen 1 Konvergiert (von wegen unendlich... man möge es mir nachsehen, ich hatte da erst 2 Tassen Kaffee intus) und der Bruch selbst gegen 0. Wie schreibe ich das ganze jetzt aber noch formal korrekt sauber auf?

@Leopold Jopps, aufgrund der Reaktionen stelle ich mal die Vermutung an das hier anscheinend einige wirklich mit Samthandschuhen anzufassen sind?
Widderchen Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

nein, die richtigen Parameter sollten 1 und -1 lauten. Es kann ja nicht sein, dass einer der Summanden bei dieser Partialbruchzerlegung verschwindet.

Ja, diese Partialsumme konvergiert für n gegen unendlich gegen den Wert 1.

Viele Grüsse
Widderchen
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von NFIMathe
@Leopold Jopps, aufgrund der Reaktionen stelle ich mal die Vermutung an das hier anscheinend einige wirklich mit Samthandschuhen anzufassen sind?

Nö, eigentlich nicht. Aber HAL9000 ist da manchmal etwas eigenwillig. Mach dir nichts draus. Augenzwinkern
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von 10001000Nick1
Aber HAL9000 ist da manchmal etwas eigenwillig.

Naja, in aller Regel klingt sowas wie da oben wie eine sarkastische Reaktion eines beleidigten Fragestellers - hundertfach erlebt hier im Forum. Wie soll ich da erkennen, dass ein einzelner es wirklich mal anders meint? Aber zieht ruhig weiter her über mich, hab mir mittlerweise ein dickes Fell zugelegt.
NFIMathe Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Widderchen
Hallo,

nein, die richtigen Parameter sollten 1 und -1 lauten. Es kann ja nicht sein, dass einer der Summanden bei dieser Partialbruchzerlegung verschwindet.

Ja, diese Partialsumme konvergiert für n gegen unendlich gegen den Wert 1.

Viele Grüsse
Widderchen


Würde ja dann bedeuten das folgendes bei raus kommt:


Das wäre aber nicht
weil ja x+(-1) = x-1 != x+1
Widderchen Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

es gilt:



Augenzwinkern

Viele Grüße
Widderchen
NFIMathe Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, danke für den Hinweis, hab natürlich glatt vergessen den Zähler wieder zusammen zu multiplizieren.
Mit A=1 hätte ich ja dann gezeigt dass die Summe Sn gegen 1 Konvergiert, ich frage mich nur ob das durchexerzieren der Partialbruchzerlegung dem Dozenten (bzw. dem Tutor) als Explizite Darstellung genügt oder ob die da etwas anderes erwarten.
Widderchen Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

sobald du die Partialbruchzerlegung durchgeführt hast, kannst du die Summe einfach ausschreiben. Ich hatte ja bereits im ersten Post darauf hingewiesen, dass es sich hierbei um eine Teleskopsumme handelt, also dass ein Großteil der Summanden verschwindet:



Erkennst du die Teleskopsumme? Alle Summanden bis auf der erste und der letzte verschwinden. Wie lautet also die explizite Darstellung der Partialsumme? Augenzwinkern

Insbesondere an der expliziten Darstellung erkennst du, dass

Viele Grüße
Widderchen
NFIMathe Auf diesen Beitrag antworten »

Weil ja jeder Bruch außer dem letzten sowohl subtrahiert als auch addiert wird.
Konvergenz sollte ja dann mit einem ausreichen, weil Konvergenz für Folgen und wie mans Beweist haben wir mit keinem Wort in der VL bisher gehabt und dankenswerterweise ist das Script strikte Grundlage für die Tutorien und die Klausur.
Vielen Dank Widderchen.
Widderchen Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

die richtige Antwort lautet eigentlich:



Und damit folgt die Konvergenz der Reihe gegen den Grenzwert "1":



Der Konvergenzbegriff ist in der Mathematik unerlässlich und wird in fast jeder Vorlesung behandelt (insbesondere in der Analysis und einigen anderen mathematischen Veranstaltungen !).

Viele Grüße Augenzwinkern
Widderchen
NFIMathe Auf diesen Beitrag antworten »

grml... Sorry, ich bin Spezialist auf dem Gebiet des Vorzeichenverdrehens.
Wenigstens stimmt das mit dem Limes was ich gemacht hab. Und ja, Konvergenz wird sicher noch angesprochen, nur eben bisher nicht.
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