Abzählbare Menge

06.11.2015, 16:33

Minus1

Abzählbare Menge

Meine Frage:
Hallo zusammen, könnt ihr mir bitte bei der folgenden Teilaufgabe helfen?
Aufgabe: Begründen Sie bitte ausführlich, warum die folgenden Mengen abzählbar sind unglücklich

i) $\begin{eqnarray*} \mathbb Z^{-}\cup \left( \bigcup _{n\in \mathbb N } \left\{ x\in \mathbb Q:\frac{1}{7} \leq x\leq \frac{n}{n+1} \right\}\right) \end{eqnarray*}$
(ii) $\begin{eqnarray*} (\mathbb R ohne(\mathbb R ohne\mathbb Z))^{2}\times (\mathbb Q\cap \left[-1;1\right])\times ((\mathbb R ohne\mathbb Q)^{c}) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Kann mir jemand ein Ansatz geben wie ich jetzt erstmal vorgehen soll?

06.11.2015, 16:52

10001000Nick1

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Zu (i): Abzählbare Vereinigungen abzählbarer Mengen sind abzählbar.

Zu (ii): Der Latex-Code für Differenzen von Mengen ist \setminus. Die Menge ist also $\begin{eqnarray*} (\mathbb R \setminus(\mathbb R \setminus\mathbb Z))^{2}\times (\mathbb Q\cap \left[-1;1\right])\times ((\mathbb R \setminus\mathbb Q)^{c}) \end{eqnarray*}$ .
Diesen Ausdruck kannst du erstmal vereinfachen.
Das kartesische Produkt zweier (und damit auch endlich vieler) abzählbarer Mengen ist abzählbar.

06.11.2015, 17:30

HAL 9000

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Bei (i) kann man auch einfach sehen $\begin{align*} \mathbb{Z}^- \subset M \subset \mathbb{Q} \end{align*}$ , wobei die beiden "äußeren" Mengen abzählbar sind.

06.11.2015, 21:44

Minus1

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Ich denke da kommt erstmal
$\begin{eqnarray*} (\mathbb Z)^{2}\times \left[-1;1\right]\times \mathbb R \end{eqnarray*}$ und die ganzen Zahlen hoch zwei sind ja die ganzen Zahlen also $\begin{eqnarray*} (\mathbb Z)\times \left[-1;1\right]\times \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Ist das erstmal richtig?

07.11.2015, 08:15

10001000Nick1

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$\begin{eqnarray*} (\mathbb R\setminus \mathbb Q)^c \end{eqnarray*}$ ist nicht dasselbe wie $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ (wenn es so wäre, wäre das kartesische Produkt aufgrund der Überabzählbarkeit von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ auch überabzählbar).

Mit $\begin{eqnarray*} \mathbb Z^2 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \mathbb Z\times\mathbb Z \end{eqnarray*}$ gemeint, was nicht dasselbe ist wie $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ .

Und $\begin{eqnarray*} [-1,1]\cap\mathbb Q \end{eqnarray*}$ ist nicht dasselbe wie $\begin{eqnarray*} [-1,1] \end{eqnarray*}$ (ersteres ist abzählbar, letzteres nicht).

07.11.2015, 09:32

HAL 9000

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Die Verwendung des Komplementsymbols $\begin{align*} {}^c \end{align*}$ ist übrigens gefährlich, solange nicht zweifelsfrei klar ist, bezüglich welcher Grundmenge $\begin{align*} \Omega \end{align*}$ dieses Komplement gemeint ist. Bei $\begin{align*} (\mathbb R\setminus \mathbb Q)^c \end{align*}$ kämen beispielsweise $\begin{align*} \Omega=\mathbb{C} \end{align*}$ oder $\begin{align*} \Omega=\mathbb{R} \end{align*}$ in Frage - es ist stark anzunehmen, dass letzteres hier gemeint ist. Damit wäre

$\begin{align*} (\mathbb R\setminus \mathbb Q)^c = \mathbb R\setminus (\mathbb R\setminus \mathbb Q) = \mathbb Q \end{align*}$ .

07.11.2015, 11:24

minus1

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$\begin{eqnarray*} (\mathbb Z\times \mathbb Z) \end{eqnarray*}$ wäre Abzählbar laut Definition im Skript. Nur kann ich das einfach so übernehmen oder muss ich das Beweisen ?

$\begin{eqnarray*} \left[-1;1\right] \in \mathbb Q \end{eqnarray*}$ Wäre auch Abzählbar da das Intervall nur rationale Zahlen hat das Intervall ist ohne die irrationalen Zahlen die könnte man nicht Abzählen wäre überabzählbar.

$\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ wäre Abzählbar.

Wenn alle Abzählbar sind heißt das das Kartesische Produkt von allen ist auch Abzählbar ?

07.11.2015, 16:41

10001000Nick1

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Zitat:

Original von minus1
$\begin{eqnarray*} (\mathbb Z\times \mathbb Z) \end{eqnarray*}$ wäre Abzählbar laut Definition im Skript. Nur kann ich das einfach so übernehmen oder muss ich das Beweisen ?

Wenn das im Skript steht, darfst du das sicherlich benutzen. Allerdings ist die Abzählbarkeit von $\begin{eqnarray*} \mathbb Z\times\mathbb Z \end{eqnarray*}$ keine Definition, sondern eine Folgerung.

Zitat:

Original von minus1
$\begin{eqnarray*} \left[-1;1\right] \in \mathbb Q \end{eqnarray*}$ Wäre auch Abzählbar

Da meinst du $\begin{eqnarray*} [-1,1]\cap\mathbb Q \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von minus1
$\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ wäre Abzählbar.

Richtig.

Zitat:

Original von minus1
Wenn alle Abzählbar sind heißt das das Kartesische Produkt von allen ist auch Abzählbar ?

Ja (ich weiß natürlich nicht, ob du benutzen darfst, dass das kartesische Produkt zweier abzählbarer Mengen abzählbar ist, oder ob du das beweisen musst).

07.11.2015, 17:17

minus1

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Also in der Aufgabe steht nichts von "Beweisen" da steht nur das ich meine Antwort Begründen soll. Also könnte ich bzw müsste ich als korrekte Begründung sagen dass, das kartesische Produkt zweier abzählbarer Mengen abzählbar ist

07.11.2015, 17:20

10001000Nick1

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Naja, ob zwischen "Begründen" und "Beweisen" so ein großer Unterschied besteht...?

Jedenfalls kann man die Abzählbarkeit der Menge mit dieser Aussage beweisen.
Außer dir wird aber wohl niemand entscheiden können, ob du das einfach so verwenden darfst oder nicht.

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