Stammfunktion der Nullfunktion nicht existent?

06.11.2015, 20:22

RedOne

Stammfunktion der Nullfunktion nicht existent?

Hey liebe Community,

bekanntlich ist die Stammfunktion der Nullfunktion eine konstante Funktion F(x) = c .
Jedoch bin ich über einen Gedankenknoten gestoßen, der irgendwie alles durcheinander gebracht hat.
Eine Stammfunktion ist definiert durch das folgende Integral:

$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{x} \! f(x) \, dx = F(x) \end{eqnarray*}$

(hierbei habe ich die Konstante C weggelassen, damit ich später einfacher rechnen kann)

Der Parameter a ist in diesem Falle unbekannt und kann für (jede? Da ist mein Problem) Funktion bestimmt werden, indem man diese Beziehung ausnutzt:

$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{a} \! f(x) \, dx = 0 \end{eqnarray*}$ was nichts anderes ist als F(x) = 0 und man nach x auflösen muss.

Ein kleines Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{x} \! 2 \, dx = 2x \Rightarrow 2x = 0 \Rightarrow x = 0 \end{eqnarray*}$

Das heißt, dass die einfache Stammfunktion F(x) = 2x den Flächeninhalt von f(x) = 2 von 0 bis x berechnet. Also für z.B. x = 3 folgt, dass die Fläche von f(x) = 2 von $\begin{eqnarray*} x\in [0,3] \end{eqnarray*}$ gleich F(3) = 2*3 = 6 ist. Soweit so gut!

Nun betrachten wir die Stammfunktion der Nullfunktion:

$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{x} \! 0 \, dx = C \end{eqnarray*}$

Setzen wir C beispielsweise auf C = 6. Nun müsste die Stammfunktion F(x) = 6 den Flächeninhalt der Nullfunktion von x = $\begin{eqnarray*} x\in [a,x] \end{eqnarray*}$ angeben.
Nun bestimmen wir a:
$\begin{eqnarray*} F(x) = 0 \Rightarrow 6 = 0 \end{eqnarray*}$ das ist jedoch ein Widerspruch für alle x!
Das heißt, dass die Stammfunktion, obwohl sie existiert nicht die Fläche der Nullfunktion widergibt!! Sie ist nur richtig wenn wir die allgemeine Definition des bestimmten Integrals nehmen würden. Also $\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b} \! f(x) \, dx = F(b) - F(a) \end{eqnarray*}$

Mein Frage ist 1. gibt es ein a für die Stammfunktion der Nullfunktion? und 2. wo ist mein Gedankenfehler?

06.11.2015, 20:30

HAL 9000

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Zitat:

Original von RedOne
Eine Stammfunktion ist definiert durch das folgende Integral:

$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{x} \! f(x) \, dx = F(x) \end{eqnarray*}$

Was du hier definierst, ist eine Integralfunktion.

Eine Funktion $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ nennt man Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} F'=f \end{eqnarray*}$ ist.

Für stetiges $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist jede Integralfunktion auch eine Stammfunktion - umgekehrt ist aber nicht jede Stammfunktion auch als Integralfunktion darstellbar. unglücklich

Das erklärt die vielen Ungereimt- und Falschheiten, die du in der Folge in deinem Beitrag darlegst: Es gibt nämlich Stammfunktionen, die keine Integralfunktionen sind - und zwar für alle möglichen $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ . Z.B. eben jene Stammfunktion $\begin{eqnarray*} F(x)=C \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} f(x)=0 \end{eqnarray*}$ .

07.11.2015, 10:45

RedOne

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Vielen Dank für Deine Antwort!!! Dann werde ich mich in Integralfunktionen einlesen (:

Super danke Dir! Gibt's dein Dank-Button? Big Laugh

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