Symmetrische Matrix

07.11.2015, 10:42

yellowman

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Symmetrische Matrix

Hallo zusammen, ich habe folgende Aufgabe:

Zeigen Sie das für eine symmetrische Matrix $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ folgende Aussagen äquivalent sind:

a) Es existiert eine invertierbare Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und ein $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ , so dass

$\begin{eqnarray*} (A^TRA)_{i,j}== \begin{cases} 1, & \mbox{wenn } i=j<r \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases} \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ ist positiv seimdefinit das heißt für alle Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} \vec{x}^TR\vec{x}\leq 0 \end{eqnarray*}$

Ich muss gestehen das mir momentan noch jeglicher Ansatz fehlt. Uns wurde noch der Tipp mit auf den Weg gegeben die Hauptachsentransformation zu verwenden. Wie man das allerdings hier anstellen soll erschließt sich mir noch nicht.

Kann mir jemand bei der Bearbeitung der Aufgabe helfen?

07.11.2015, 11:00

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RE: Symmetrische Matrix
i) Es ist $\begin{eqnarray*} R=S^TDS \end{eqnarray*}$ mit einer Diagonalmatrix D (warum?).
ii) Welcher Zusammenhang besteht zwischen Eigenwerten und "positiv semidefinit"? (In Teil b) hast du das übrigens mit dem falschen Relationszeichen definiert)

07.11.2015, 11:20

yellowman

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RE: Symmetrische Matrix
Hallo URL

i) Die Matrix S besteht aus Eigenvektoren der Matrix R. Auf der Hauptdiagonalen von D befinden sich die Eigenwerte von R. Das ist die Diagonalisierung einer Matrix.

ii) Hier habe ich das Relationszeichen falsch gesetzt. Es lässt sich leider auch nicht mehr editieren.

Positiv semidefinit bedeutet erstmal das die Eigenwerte der Matrix R alle größer gleich Null sind. Mehr fällt mir dazu ehrlich gesagt nicht ein.

07.11.2015, 11:27

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RE: Symmetrische Matrix
Wir nehmen an, R ist pos semidef und zeigen, dass es ein A wie gewünscht gibt.
Dazu löse $\begin{eqnarray*} R=S^TDS \end{eqnarray*}$ nach D auf.

07.11.2015, 11:42

yellowman

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RE: Symmetrische Matrix
Also wenn S orthogonal ist dann gilt $\begin{eqnarray*} S^T=S^{-1} \end{eqnarray*}$ . Damit gilt demnach:
$\begin{eqnarray*} R=S^{-1}DS \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} D=SRS^{-1} \end{eqnarray*}$

Wie zeigt man denn nun das es eine invertierbare Matrix A gibt?

07.11.2015, 11:45

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RE: Symmetrische Matrix
Warum bist du jetzt nicht fertig?

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07.11.2015, 11:52

yellowman

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RE: Symmetrische Matrix
Achso sehe ich das richtig das wir anstatt die Matrix A wir sie S genannt haben?
Das laut a) die Matrix A invertierbar ist gilt demnach die Orthogonalität mit $\begin{eqnarray*} A^T=A^{-1} \end{eqnarray*}$

damit dann auch $\begin{eqnarray*} R=A^TDS \end{eqnarray*}$ und das umgeformt landen wir bei $\begin{eqnarray*} D=ARA^{-1} \end{eqnarray*}$

- sehe ich das richtig?
- was genau hat das nun mit der positiven Semidefinitheit zu tun?

07.11.2015, 12:00

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RE: Symmetrische Matrix

Zitat:

Original von yellowman
Achso sehe ich das richtig das wir anstatt die Matrix A wir sie S genannt haben?

Nein. Schau nochmal genau hin.

07.11.2015, 13:35

yellowman

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RE: Symmetrische Matrix
Ehrlich gesagt sehe ich nicht was ich jetzt machen soll. unglücklich

unglücklich

07.11.2015, 15:39

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RE: Symmetrische Matrix
Sorgfältig arbeiten würde für den Anfang wohl reichen.
Wir haben $\begin{eqnarray*} SRS^{T}=D \end{eqnarray*}$ und zielen in die Richtung $\begin{eqnarray*} A^TRA= \ldots \end{eqnarray*}$ und du schließt

Zitat:

anstatt die Matrix A wir sie S genannt haben

also A=S.
Schaut man sich die beiden Gleichungen an, käme doch bestenfalls $\begin{eqnarray*} A=S^T \end{eqnarray*}$ in Frage. Setzen wir also A=S^T, dann steht da $\begin{eqnarray*} A^TRS=D \end{eqnarray*}$ mit invertierbarer Matrix A. Sind wir jetzt fertig?

07.11.2015, 16:30

yellowman

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RE: Symmetrische Matrix
Wenn ich das richtig verstehe wollen wir von $\begin{eqnarray*} SRS^T=D \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} A^TRA=D \end{eqnarray*}$ schließen?

Ich denke nicht das ich fertig bin da um die Gleichheit zu zeigen müsste ich wohl noch zeigen das $\begin{eqnarray*} S=A \end{eqnarray*}$ gilt damit $\begin{eqnarray*} A^TRA=D \end{eqnarray*}$ erfüllt ist?

07.11.2015, 16:32

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RE: Symmetrische Matrix
Wieso wieder S=A?

07.11.2015, 17:38

yellowman

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RE: Symmetrische Matrix
Kannst du mir sagen wie ich weiter machen soll? Sonst bringt das denke ich nichts mehr da ich von alleine nicht drauf komme.

07.11.2015, 17:54

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RE: Symmetrische Matrix
Du hast schon eine Matrix S mit der $\begin{eqnarray*} SRS^T=D \end{eqnarray*}$ gilt.
Du sollst eine Matrix A finden, mit der
$\begin{eqnarray*} (A^TRA)_{i,j}== \begin{cases} 1, & \mbox{wenn } i=j<r \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases} \end{eqnarray*}$
Man könnte jetzt eine invertierbare Matrix M suchen, mit der
$\begin{eqnarray*} (MDM^T)_{i,j}== \begin{cases} 1, & \mbox{wenn } i=j<r \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases} \end{eqnarray*}$

Wenn du dieses M hättest, dann wärst du fertig (warum? Was wäre dann A?)

07.11.2015, 20:04

yellowman

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RE: Symmetrische Matrix
Und wie komme ich an das M?

08.11.2015, 17:59

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RE: Symmetrische Matrix
Nochmal: Was wäre A, wenn du M hättest?

Wenn du selbst noch irgend etwas zu diesem Aufgabenteil beitragen willst, musst dich langsam beeilen. Wir sind nämlich so gut wie fertig. Die Stichwörter sind jetzt Zeilen/Spaltenumformung und ihre Darstellung durch Elementrarmatrizen.

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