Reihen, Taylorreihe bestimmen

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Probability Auf diesen Beitrag antworten »
Reihen, Taylorreihe bestimmen
Hallo,

die Reihe in der Aufgabe lässt sich ja auch folgendermaßen aufschreiben:


Jede ungerade Zahl im Nenner bedeutet ein pos. Vorzeichen vor dem Bruch und bei geraden Zahlen ist es negativ.

Ist das nun eine Taylor-Reihe oder nicht? Laut Angabe ist das eine Reihe und ich soll die Taylor-Reihe einer bestimmten Funktion zeigen, sodass ihr Restglied in einem sinnvollen gewählten Intervall gegen 0 geht.

Naja mit Funktion ist doch diese Funktion gemeint, die die gegeben Reihe repräsentiert, oder?

Naja, aber ich kann doch aus Taylor-Reihen rückschlüsse ziehen, was das für eine Funktion wäre, bei normalen Reihen, wie gegeben funktioniert das ja nicht, oder? Das ist doch eben dieser Clue hinter der "Taylor-Reihe"

Oder was meint ihr?

Gruß
Probability
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, du hast das nicht richtig erfaßt. Eine Taylorreihe ist ja so etwas wie ein unendlich langes Polynom, wenn ich das einmal etwas unfachmännisch sagen darf. Sie enthält also eine Variable, üblicherweise .

Du kannst diese Aufgabe nur lösen, wenn dir in der Vorlesung diese Taylorreihe schon begegnet ist und du dich daran erinnerst. Das erste ist vermutlich der Fall, das zweite offensichtlich nicht. Ich helfe deiner Erinnerung auf die Spur: natürlicher Logarithmus.
Probability Auf diesen Beitrag antworten »

Ahh, also die Taylor-Reihe von ln(x) an der Stelle x_0 = 1(x_0=0 geht nicht, da der ln für das nicht definiert ist) lautet folgendermaßen:



Vereinfacht:


Und zufällig sieht das ja Ganze genau so aus, wie in meiner Aufgabenstellung. Aber warum wurde das x nun entfernt in der Aufgabenstellung?
Sodass von der gegebenen Reihe auf die entsprechende Taylor-Reihe kommt? Das hätten wir ja schon mal.

Laut Vorlesung wird das Restglied folgendermaßen bestimmt:


Z.B.:


\theta ist ein Wert zwischen 0 und 1 und wenn x groß ist, ist das Restglied auch groß. Bei kleinem x ist es klein.

Man sagt doch bei unendlich vielen Gliedern ist das Restglied=0. Hm ich komme nicht weiter.
Probability Auf diesen Beitrag antworten »

Hat jemand eine Hilfestellung dazu bitte smile ?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Probability
Vereinfacht:

Schau mal richtig nach: Korrekt ist

für .
Probability Auf diesen Beitrag antworten »

Aber ob ich jetzt die Taylor-Reihe von ln(x) an der Stelle x_0=1 darstell oder ln(x+1) an der Stelle x_0, bleibt sich doch im Endeffekt egal für die Taylor-Reihe, oder?
Also zumindest kommt dasselbe Ergebnis raus.

Aber auch diese Erkenntnis hilft mir nicht wirklich beim Bestimmen des Restgliedes weiter. Hat da jemand noch nen tipp für mich bitte?
 
 
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Probability
Aber ob ich jetzt die Taylor-Reihe von ln(x) an der Stelle x_0=1 darstell oder ln(x+1) an der Stelle x_0, bleibt sich doch im Endeffekt egal für die Taylor-Reihe, oder?

Richtig, dann hättest du jedoch



schreiben müssen. Also lass dein verfehltes "aber" weg und sieh deinen Fehler endlich ein.
Probability Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Zitat:
Original von Probability
Aber ob ich jetzt die Taylor-Reihe von ln(x) an der Stelle x_0=1 darstell oder ln(x+1) an der Stelle x_0, bleibt sich doch im Endeffekt egal für die Taylor-Reihe, oder?

Richtig, dann hättest du jedoch



schreiben müssen. Also lass dein verfehltes "aber" weg und sieh deinen Fehler endlich ein.


Ich sehs, danke!

Aber lass uns mit folgendem weitermachen für x_0=0:




Also das Restglied wird nur Null, wenn ich für x=0 einsetze, egal welches n-tes Glied ich habe. Aber das ist doch nicht der Sinn der Aufgabe? Ich weiß gerade echt nicht weiter hier. Hat da jemand noch nen Tipp bitte?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Es wird nicht gefordert, dass das Restglied für irgendein genau Null wird, sondern nur, dass das Restglied für gegen Null konvergiert. Das ist etwas fundamental anderes!

Rechne doch erstmal die allgemeine Darstellung der n-ten (bzw. (n+1)-ten) Ableitung deiner Funktion aus, dann sehen wir weiter.
Probability Auf diesen Beitrag antworten »

Ahh ok, danke!



Also der Nenner stimmt schonmal, denn bei der (n+1)ten Ableitung hat man auch die (n+1)te Potenz. Das Vorzeichen stimmt auch, denn für n=0 wäre ein pos. Vorzeichen gefordert und n=1 ein neg. und n=2 ein pos. etc. (also (n+1) rechnen für n=0,1,2,3,4...)

Durch das faktorielle im Zähler erziele ich bei der (n+1)ten Ableitung immer das was im Zähler steht also: 1,1,2,6,24,120 etc.

Müsste so passen oder?
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

wo steht was im Zähler/Nenner ?

Jetzt führe das mal zusammen !

EDIT: nur damit es weitergeht! Augenzwinkern
Probability Auf diesen Beitrag antworten »

Also:


Mit x_0=0:


Also wenn ich n gegen unendlich geht. Kommt raus.

Naja bei so einem Fall müsste man L'Hospital anwenden oder kommt man anders auf das Ergebnis?

Bzw. Stimmt das hingschriebene überhaupt?
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Probability

Naja bei so einem Fall müsste man L'Hospital anwenden oder kommt man anders auf das Ergebnis?

immer langsam, x geht nicht unbedingt gegen unendlich, x ist noch offen, sozusagen in der Diskussion.
Zitat:

Bzw. Stimmt das hingschriebene überhaupt?


wäre richtig. Ja, stimmt schon, aber immer noch zu formal, keine Zusammenfassung.

du musst mal zum Wesentlichen kommen. Für die Betrachtung ist das alternierende Vorzeichen ohne Bedeutung. Nimm jetzt mal den Betrag des Restgliedes.
Und was ist ?? fasse endlich zusammen.

Überlege dann , wann das Restglied nach Null strebt, wobei das als ungünstig einzustufen , und das maximale x noch diskutabel ist.


EDIT: ich hoffe ich konnte ein wenig aushelfen. Wink
Probability Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, d.h.:



Also :
ist auf jedenfall schonmal 1.
Wenn x=0, dann ist der gesamte Zähler Null und somit auch das Restglied=0.
Wenn x=1, steht im Zähler Eins und im Nenner Unendlich, wenn , wenn übrigens auch.

Naja das x darf ja eigentlich jetzt nich so gewählt werden, da es doch für alle x in einem bestimmten Definitionsbereich gelten muss(also Restglied=0), aber wenn x eine Zahl aus dem Definitionsbereich und n gegen unendlich geht, dann kann da nie Null rauskommen, außer eben bei x=0.

Außer ich habs falsch zusammengefasst? Habs aber mehrmals überprüft.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Fazit: große x>1 sind ungesund. Bei x=1 liegt wohl die Grenze.

Somit gilt

Somit zur Ausgangs-Frage: welchen Wert hat demnach die vorgegebene unendlich Reihe? und warum konvergiert sie auch ohne Taylor-Diskussion?
Probability Auf diesen Beitrag antworten »

Danke!!



gilt für . D.h. das Restglied ist in dem Intervall = 0. Richtig?

Achso und ich hab einen "schweren" Fehler gemacht. Statt "" gehört natürlich geschrieben, denn es geht ja um das Restglied n wo die (n+1)te Ableitung vorkommt. Richtig?
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

stimmt soweit!
1.) Der Limes des Restgliedes ist Null.

wird z.b. nach 2 Gliedern abgebrochen, dann wird der Fehler des Taylorpolonoms im Betrag durch das Restglied abgeschätzt.

2.) deine Reihensumme ist ln(2)

3) Die Reihe konvergiert da die Folge eine alternierende Nullfolge ist. ( Leibnitz Kriterium )

jetzt alles klar smile
Probability Auf diesen Beitrag antworten »

Sehr gut, danke smile !!

Aber Punkt 2 und 3 wird nicht explizit benötigt für die Aufgabe oder?

2. Reihensumme nennt man jenen Wert, wo x maximal werden kann? Also in dem Fall x=1?
3. Besagt das Leibnitz Kriterium dann, dass es Reihen gibt, die für bestimme x konvergieren(also Limes des Restgliedes = 0)?
Oder verwechsle ich da was?
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

eine Reihe enthält keine Variable. Ansonsten wäre es irgendeine Funktion oder wie hier ein Polynom.

Das müsste doch 2.)3.) beantworten

Die Ausgangsreihe entsteht durch Einsetzen von x=1 in das unendliche Taylorpolynom.

Da wir den ln() als Ausgangsfunktion richtig geraten haben und nachgewiesen haben, dass der Limes des Restgliedes für x=1 gleich Null ist, können wir den unendlichen Reihenwert auch einfach angeben.
Probability Auf diesen Beitrag antworten »

Ahh okay, danke.

wäre doch:


Das Minus am Anfang stört, denn am nahesten drann ist e^-x mit:
Probability Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, ich komme nicht auf die dazu passende Taylor-Reihe. Hat da jemand einen Tipp bitte? Wäre da keine -1 am Anfang wärs so schön mit e^-x gegangen.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Probability


wäre doch:


Das Minus am Anfang stört, denn am nahesten drann ist e^-x mit:


und warum sollte da am Anfang ein Minus stehen ?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

@Probability

Wie kommt nun so plötzlich und wundersamerweise ein Fakultätszeichen in den Nenner? Laut Eröffnungsbeitrag geht es um die Logarithmusreihe, und dort hat dergleichen nichts zu suchen. unglücklich
Probability Auf diesen Beitrag antworten »

Das alte Beispiel vom Eröffnungsthread ist abgeschlossen, hätte ich vielleicht erwähnen sollen, sorry.

Wollte mit der neuen gezeigten Reihe nur sicher gehen, ob das eben der taylorreihe von e^-x ähnelt bzw. diese an der stelle x=1 ist.

Naja und jetzt hat sich herausgestellt, dass das eben diese ist und ich kann zeigen, wo die Reihe konvergiert.
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