Hauptraum / Hauptvektoren / Linearität / DGL

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GOLFMKI Auf diesen Beitrag antworten »
Hauptraum / Hauptvektoren / Linearität / DGL
Hallo,

ich habe folgende Verständnisfrage zu obigem Thema: Hauptraum /Hauptvektoren / Linearität.

Falls irgendtwas falsch an den Überlegungen ist bitte korrigieren! Prost

Der Hauptraum stellt einen Unterraum des gesamten aufgespannten Vektorraums dar.
Aber was stellt der Hauptraum genau genommen dar? Bzw. die Hauptvektoren?
Denn falls eine nxn Matrix gegeben ist und die Matrix n-gleiche EIgenwerte besitzt, kann die Basis des Vektorraums genommen werden, da n=r.
Was bewirken die Hauptvektoren und könnte jemand eine Beispiel aus der Realität mir vor Augen führen?

Weil bei einer 3x3 Matrix mit z.B. 2mal doppelten EW (angenommen algebraische Vielffachheit echt kleiner der geometr. Vielffachheit!) und einem einfachen EW, könnte ich einfach 2 Hauptvektoren errechnen und den dritten mit dem Kreuzprodukt herausfinden. Aber anscheinend ist dies unzulässig. Aber warum? Weil er ist linear unab. zu den anderen beiden und sollte doch auch im Haupraum liegen oder nicht? Weil wie soll sonst ein dritter Vektor den Hauptraum als lin. unab. Vektor darstellen?

Denn die Hauptvektoren liegen im "Kernraum", die Null ist immer auf triviale Art und Weise im Hauptraum vorhanden. Im Bezug auf die DGL's n-ter Ordnung verstehe ich es so, dass Die Hauptvektoren immer Lösungen der homogenen DGL sind. Jetzt kommt der Punkt der mich am meisten verwirrt.

Ich habe beispielsweise eine inhomogene DGL n-ter Ordnung. Somit besteht die Lösung aus der part. Lösung und der homogenen Lösung. Die partikuläre Lösung "sorgt dafür", dass der Hauptraum sich aus der Null verschiebt. Also die partikulare Lösung den Stützvektor darstellt.
Aber nun lässt sich die Null aufgrund der part. Lösung nicht mehr auf triviale Art und Weise erzeugen. Somit ist es weder linear /lineare Abbildung noch einen Unterraum. Wenn es also kein Unterraum ist, was ist es dann? Denn es wird ja munter weiter drauf los gerechnet mit einem Linearen Gleichungssystem obwohl es nicht linear ist?

Was genau beschreibt die Wronki-Matrix (die ja für die partikuläre LSG einer DGL n-ter Ordnung zuständig ist)? Bzw. mit welchem Hintergrund leitet man die Lösungen des Fundamentalsystems n-mal ab um sie als Wronski-Matrix aufzuschreiben? Nur damit man sagen kann, dass die partikuläre Lösung n-Mal diffbar ist?

Ich hoffe mir kann jemand die Zusammenhänge erklären bzw. das ich mich für euch verständlich ausgedrückt habe. Wink

Lieben Gruß
Patrick
GOLFMKI Auf diesen Beitrag antworten »

Keiner eine Idee? traurig
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Doch, ganz viele Ideen. Zu viele, um sie leichtverständlich darzustellen. Du fragst nach Theorien, die ganze Lehrbücher füllen. Wie soll man das in wenigen Sätzen verständlich darstellen, wenn Du die Lehrbücher nicht verstehst ?
GOLFMKI Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, danke schon einmal für deine Antwort!

Leider gibt unser Höma 3 Skript nicht mehr her. In Wikipedia oder in Mathematikbüchern werden meine Fragen nicht wirklich beantwortet bzw. finde keine konkrete Antwort auf die Fragen.

Könntest Du eventuell kurz in ein paar Sätzen zu den fettgedruckten Fragen eine Antwort geben?
Besonders das Thema mit der Wronski Matrix interessiert mich enorm.

Ich bedanke mich für deine Bemühungen.

Lieben Gruß
Patrick
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Für Vektorräume und lineare Abbildungen, charakteristische Polynome, Eigenwerte, Eigenräume und Haupträume, Jordan-Normalform genügt ein Semester "Lineare Algebra I" oder ein entsprechendes Lehrbuch. Dabei wird auch die Theorie der Lösungen linearer Gleichungssysteme als Nebenklassen nach dem Kern des zugehörigen homogenen LGS behandelt.
Für Wronski-Determinante verweist Wikipedia auf "Heuser H.: Gewöhnliche Differentialgleichungen. Teubner, 1995. S. 250." . Mein Studium bei Harro Heuser ist zu lange her, da musst Du selbst nachlesen.
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