Abzählbarkeit von Folgen

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MH15 Auf diesen Beitrag antworten »
Abzählbarkeit von Folgen
Meine Frage:
Hallo, ich hab ein wenig Schwierigkeiten mit den folgenden Teilaufgaben:
(i) Zeigen Sie, dass die Menge M aller reellen Zahlenfolgen für die für alle n Element der natürlichen Zahlen gilt, eine überabzählbare Menge ist.
(ii) Beweisen Sie, dass die Menge M aller abbrechenden Folgen aus Nullen und der Ziffer 1 eine abzählbare Folge ist.

Meine Ideen:
Könnt ihr mir einen Denkanstoß geben? unglücklich
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abzählbarkeit von folgen
Hallo,
Du weist hoffentlich, das es abzählbar viel natürliche zahlen und überabzählbar viele
Reelle zahlen gibt. Betrachte von allen Zahlenfolgen a_n immer nur jeweils die erste Zahl.
Allein daran erkennt man schon, dass... Mehr verrate ich nicht, damit das keine Komplettlösung
Für (i) wird. Augenzwinkern
Gruss ollie3
 
 
MH15 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke erstmal für die schnelle Antwort. smile Hier ist es ja die 9, das kann eine natürliche aber auch eine reelle Zahl sein. Ich denke aber es ist die reelle, verwirrt
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke ollie hat die Aufgabe falsch gelesen. Was sinnvoller ist: Falls , welche Werte kann dann annehmen? Damit kann man eine Bijektion zwischen der Potenzmenge von N und der Menge der Folge finden.
MH15 Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist ja eine beschränkte Folge deswegen gilt:
Deswegen ist Also geht die Folge von 9 bis zu den reellen Zahlen. Stimmt das? smile
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Für , wann ist ?
MH15 Auf diesen Beitrag antworten »

Bei x Betrag wäre es -9 und 9, meinst du das?
MH15 Auf diesen Beitrag antworten »

Also wenn x=-9 oder x=9
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Genau. D.h. wenn für alle n, dann sind das alle Folgen mit nur aus den Folgengliedern -9 und 9 bestehen. D.h. für jedes hast du die Wahl eines Vorzeichen. Damit kann man jede Folge mit einer Menge in identifizieren.
MH15 Auf diesen Beitrag antworten »

Und so kann ich dann zeigen das es eine überabzählbare Menge ist? verwirrt
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Ich nehme an ihr könnt voraussetzen, dass überabzählbar ist. Ansonsten kann man den Beweis auch direkt hier anwenden.
MH15 Auf diesen Beitrag antworten »

Könntest du mir beim Beweis helfen?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du sagst woran es hackt, und was von meinem letzten Post du überhaupt nun vor hast...
MH15 Auf diesen Beitrag antworten »

Am liebsten zweiteres weil ich nicht genau weiß ob ich beim ersten die Potenzmenge voraussetzen kann. Wie könnte ich es denn direkt hier anwenden? Ich würde gern verstehen wie du das machen würdest mit dem Beweis. Ich würde mich an den Beweis dann versuchen und in dir zeigen oder wenn weitere Probleme auftauchen dich dann fragen darüber.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Die Beweisidee nennt sich Cantorsches Diagonalverfahren, siehe Wikipedia: Link.

Die Idee man nimmt man an die Menge ist abzählbar, d.h. es gibt eine Bijektion , wobei . Dann konstruiert man mit dem Verfahren ein Element s.d. für alle n. D.h. dann die Folge b ist nicht surjektiv, insbesondere nicht bijektiv. Widerspruch.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Andere Möglichkeit: Sei und eine bestimmte Folge, sowie . Eine entsprechende Zuordnung von Folgen und Teilmengen von ergibt eine Bijektion der Menge der betrachteten Folgen und der Potenzmenge .
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

@RavonOnJ Was ich ja bereits vorgeschlagen, bloss ohne explizite Zuordnung. Aber der Fragesteller wollte direkt die Überabzählbarkeit zeigen und nicht auf die der Potenzmenge verweisen.
MH15 Auf diesen Beitrag antworten »

Also um ehrlich zu sein weiß ich nicht genau warum das so ist : " Damit kann man jede Folge mit einer Menge in p identifizieren" ich verstehe diesen Satz nicht ganz genau.

Und wie konstruiere ich den dieses verfahren ?
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MH15
Also um ehrlich zu sein weiß ich nicht genau warum das so ist : " Damit kann man jede Folge mit einer Menge in p identifizieren" ich verstehe diesen Satz nicht ganz genau.

Und wie konstruiere ich den dieses verfahren ?


Falls du meinen letzten Post gelesen hättest, wüsstest du eine der möglichen Antworten.
MH15 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe sehr wohl gelesen was du geschrieben hast nur weiß nicht wie ich von einer reellen Folge zu der Potenzmenge von den natürlichen Zahlen komme und wie dadurch eine Bijektion entsteht. Das ist mein Problem. Es wäre lieb wenn ihr mir das nochmal für dumme erklärt.
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