verallgemeinerte funktionen (gerade oder ungerade funktion)

07.11.2015, 17:06

Triz

Auf diesen Beitrag antworten »

verallgemeinerte funktionen (gerade oder ungerade funktion)

Es geht darum herauszufinden ob die funktion gerade oder ungerade ist:

$\begin{eqnarray*} g(x) = 4*g'(0) \\ h(x)=5*g''(0)\\ f(x)=g(0) \end{eqnarray*}$

hier sind mal die Funktionen, um die es primär geht

Ich arbeite gerade das Kapitel der verallgemeinerten Funktionen durch und hab die Übungsbeispiele (die ich nach permanenten Kopfzerbrechen nicht schaff) hier online gestellt.

Mein Plan war mittels der Regel:
$\begin{eqnarray*} \int_{-a}^{+a} \! f(x) \, dx = 2*\int_{0}^{a} \! f(x) \, dx \end{eqnarray*}$ für gerade Funktionen

und

$\begin{eqnarray*} \int_{-a}^{+a} \! f(x) \, dx = 0 \end{eqnarray*}$ für ungerade Funktionen

die Beispiele zu lösen.

ich betrachte g'(0); g''(0) und g(0) als konstanten Faktor der sich beim integral jedes mal heraushebt.
Dadurch bekomme ich für jede Funktion eine gerade Funktion heraus, was aber nicht stimmt.

Ich müsste das mittels linearer Substitution auch herausfinden können, aber da stell ich mir die frage, wie ich 0 substituieren soll ?

07.11.2015, 17:35

10001000Nick1

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: verallgemeinerte funktionen (gerade oder ungerade funktion)

Zitat:

Original von Triz
Es geht darum herauszufinden ob die funktion gerade oder ungerade ist:

$\begin{eqnarray*} g(x) = 4*g'(0) \\ h(x)=5*g''(0)\\ f(x)=g(0) \end{eqnarray*}$

hier sind mal die Funktionen, um die es primär geht

Da kann was nicht stimmen. Wie soll man denn eine Funktion mithilfe ihrer Ableitung definieren?

07.11.2015, 17:59

Triz

Auf diesen Beitrag antworten »

die Angabe hat schon seine Richtigkeit Augenzwinkern

Augenzwinkern

"Es ist mit der linearen Substitutionsregel zu begründen, ob die unten definierten verallgemeinerten Funktionen gerade oder ungerade sind."
das steht dabei

Es sind aber 3 Angaben
1) g(x) = 4* g'(0) Lösung: ungerade

2) h(x) = 5*g''(0) Lösung: gerade

3) f(x) = 4*g(0) Lösung gerade

07.11.2015, 18:13

10001000Nick1

Auf diesen Beitrag antworten »

Das einzige, was ich mir vorstellen könnte, wäre:
"Es seien $\begin{eqnarray*} f,g,h:\mathbb R\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ Funktionen, sodass für alle $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} g(x)=4g'(0) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} h(x)=5g''(0) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x)=4g(0) \end{eqnarray*}$

Begründe, ob die Funktionen gerade/ungerade sind."

Allerdings wären dann alle drei Funktionen die Nullfunktion. verwirrt

verwirrt

War das wirklich der komplette Aufgabentext, den du gepostet hast? Manchmal stecken auch in noch so kleinen Wörtchen noch wichtige Hinweise. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Oder hat sonst irgendjemand eine Idee?

07.11.2015, 18:27

Triz

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab mal die Buchseiten abfotografiert wo das Thema behandelt wird: mit linearer Substitutionsmethode:

Der Aufgabentext ist vollständig. Ich danke dir für deine Bemühungen Gott

Gott

Edit: Links zu externem Hoster entfernt (s.u.) LG Iorek

07.11.2015, 18:32

10001000Nick1

Auf diesen Beitrag antworten »

Da muss man sich anscheinend anmelden. Kanst du die Bilder direkt hier im Board hochladen?

Anzeige

07.11.2015, 18:44

Triz

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hoff, dass funktioniert so:

ins Board kann ich die Bilder leider nicht hochladen, da sie zu groß sind

Edit: Links zu externem Hoster entfernt, Bilder verkleinert und direkt angehängt. LG Iorek

07.11.2015, 18:53

10001000Nick1

Auf diesen Beitrag antworten »

Und wo in diesen Bildern findet man die obige Aufgabe? Also z.B. "Es ist mit der linearen Substitutionsregel zu begründen, ob die unten definierten verallgemeinerten Funktionen gerade oder ungerade sind."?

07.11.2015, 19:29

Triz

Auf diesen Beitrag antworten »

Da wird zumindest die lineare substitutionsmethode angewendet. Mehgr dazu lässt sich im Skriptum nicht finden.

Ich habe die Seiten nur gepostet um zu zeigen worum es überhaupt geht^^

07.11.2015, 19:32

Triz

Auf diesen Beitrag antworten »

Mir ist aufgefallen das es bei allen Beispielen den anschein hat, dass bei gerader ableitung der funktion g die funktion gerade ist und bei ungerader die funktion ungerade:

sprich:

g^(n)

n = ungerade: funktion ist ungerade
n = gerade: funktion ist ungerade

Ich hoffe meine Erkenntnis trägt dazu bei, den herauszufinden wie man sowas ausrechnet.

bin da echt ratlos traurig

traurig

07.11.2015, 20:20

10001000Nick1

Auf diesen Beitrag antworten »

Verrätst du noch, wie $\begin{eqnarray*} \langle f|\vartheta\rangle \end{eqnarray*}$ definiert ist?

07.11.2015, 22:23

Triz

Auf diesen Beitrag antworten »

Klar.

$\begin{eqnarray*} f(x)=\int_{-\infty}^{\infty } \! f(x)*\vartheta (x) \, dx \end{eqnarray*}$

07.11.2015, 22:56

Triz

Auf diesen Beitrag antworten »

sorry. Ich meinte natürlich:

$\begin{eqnarray*} <f|\vartheta>=\int_{-\infty}^{\infty} \! f(x) * \vartheta(x) \, dx \end{eqnarray*}$

08.11.2015, 01:00

10001000Nick1

Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, da bin ich überfragt. Mit verallgemeinerten Funktionen (auch Distributionen) hatte ich schon mal ein bisschen zu tun, aber mich verwirrt immer noch die Definition (oder was auch immer das ist) von $\begin{eqnarray*} f,g \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ in deinem ersten Beitrag. unglücklich

unglücklich

08.11.2015, 02:36

Triz

Auf diesen Beitrag antworten »

trotzdem danke für deine Bemühungen Augenzwinkern

Augenzwinkern

hoffe es findet sich bald jemand der mir hier weiterhelfen kann.

08.11.2015, 07:58

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

Also wenn ich tippen müsste, dann sollte die Aufgabe heißen: Sei $\begin{eqnarray*} T : C^\infty_c \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ eine verallgemeinerte Funktion mit
$\begin{eqnarray*} \langle T, g \rangle = 4g'(0) \end{eqnarray*}$ ,
$\begin{eqnarray*} \langle T, h \rangle = 5h''(0) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \langle T, f \rangle = f(0) \end{eqnarray*}$ .

Dann $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ heißt gerade, wenn $\begin{eqnarray*} \langle T, g \rangle = \langle T, \widetilde g \rangle \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \widetilde g(x) = g(-x) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und ungerade falls $\begin{eqnarray*} \langle T, g \rangle = -\langle T, \widetilde g \rangle \end{eqnarray*}$ .

Bei der ersten wäre dann z.B. $\begin{eqnarray*} \langle T, \widetilde g \rangle = 4 [\widetilde g'](0) = 4 \left [ \frac{d}{dx} [ x\mapsto g(-x)] \right](0) = -4 \left [ x\mapsto g'(-x) \right](0) = -4 g'(0) = -\langle T, g \rangle \end{eqnarray*}$ .

Also ungerade.

08.11.2015, 11:39

Triz

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke Danke

Du hast mir sehr weitergeholfen Freude

Freude

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »