Komplexe Zahlen als Gruppe

07.11.2015, 21:34

legendany

Komplexe Zahlen als Gruppe

Hallo!

Ich bin dabei, eine Aufgabe zu lösen bzw. habe es schon getan. Allerdings gibt sie verhältnismäßig viele Punkte und kam mir dafür etwas zu leicht vor. Ich habe nämlich noch meine Probleme mit Hochschulmathe, konnte die Aufgabe jedoch selbstständig lösen, was ich nicht gewohnt bin. Es geht um folgende Aufgabe:

Legende: C = komplexe Zahlenmenge

Sei $\begin{eqnarray*} H_{+} := \end{eqnarray*}$ { $\begin{eqnarray*} z \in C | Re(z) > 0 \end{eqnarray*}$ } die "rechte komplexe Halbebene". Um das Rechnen mit komplexen Zahlen und gleichzeitig die Axiome einer Gruppe zu wiederholen, zeigen Sie, dass die Verknüpfung

$\begin{eqnarray*} * : H_{+} \times H_{+} \Rightarrow H_{+}, (v, w) \rightarrow v * w := \frac{v + \bar{v}}{2}w + \frac{v - \bar{v}}{2} \end{eqnarray*}$

wohl-definiert ist (d.h. in diesem Fall, dass v * w tatsächlich wieder in $\begin{eqnarray*} H_{+} \end{eqnarray*}$ liegt) und (H+, *) eine Gruppe ist. Was ist das neutrale Element dieser Gruppe? Was ist das Inverse eines $\begin{eqnarray*} z \in H_{+} \end{eqnarray*}$ bezüglich *?

Also wohldefiniert ist es, da ich für z = v * w = Re(v) + Im(v)i = Re(v)Re(w) + (Re(v) + 1)Im(w)i herausbekommen habe und das wieder in H+ liegt.
Nun habe ich für das neutrale Element e = 1 + 0i = 1 und für das Inverse

$\begin{eqnarray*} z^{-1}= 1 - \frac{z - \bar{z}}{z + \bar{z}} \end{eqnarray*}$

raus. Somit ist H+ eine Gruppe. Kann das stimmen?

07.11.2015, 21:48

tatmas

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Hallo,

das neutrale Element ist richtig.

Zitat:

z = v * w = Re(v) + Im(v)i = Re(v)Re(w) + (Re(v) + 1)Im(w)i

Das zweite = kann nicht stimmen, rechts steht kein Produkt. Die nächste Gleichheit ist auch nicht nachvollziebar, insbesondere die 1 taucht aus dem nichts auf.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} z^{-1}= 1 - \frac{z - \bar{z}}{z + \bar{z}} \end{eqnarray*}$

wirkt unnötig kompliziert man kann es z.b alseinen Bruch schreiben:
$\begin{eqnarray*} z^{-1}= \frac{2 \bar{z}}{z + \bar{z}} =\frac{\bar{z}{Re{z}} \end{eqnarray*}$
Nur ist das blöderweise nicht das Inverse:
z=1+2i, dann ist $\begin{eqnarray*} z^{-1}=1-2i \end{eqnarray*}$ , aber (1+2i)(1-2i)=1+4=5.

Du machst dir hier auch das Leben unnötig kompliziert: Wenn $\begin{eqnarray*} (H_+,\cdot ) \end{eqnarray*}$ eine Gruppe ist, dann ist sie eine Untergruppe von $\begin{eqnarray*} \mathbb C, \cdot \end{eqnarray*}$ und hat dementsprechend die selben Inversen.

07.11.2015, 22:02

legendany

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Oh, ups. Da habe ich was zusammengefasst, was ich nicht sollte.

Danke erstmal für deine Hilfestellung, wenn es nicht klappt, melde ich mich nochmal.

07.11.2015, 22:23

legendany

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Ich verstehe es nicht ganz. Zur Wohldefiniertheit:

v * w = Re(v)w + Im(v)i = Re(v)(Re(w) + Im(w)i) + Im(v)i = Re(v)(Re(w) + Re(v)Im(w)i + Im(v)i.

Das sind drei Summanden unglücklich

Beim Inversen habe ich nochmal drübergerechnet und tatsächlich ein Rechenfehler gefunden. Ich habe nun raus:

$\begin{eqnarray*} z^{-1} = \frac{\bar{z}}{Re(z)} \end{eqnarray*}$

Somit macht es auch Sinn, dass vorher Re(z) > 0 definiert wurde.

Stimmt das nun?

//edit: für das Inverse habe ich folgende Gleichung nach z^-1 aufgelöst:

$\begin{eqnarray*} \frac{z + \bar{z}}{2} z^{-1} + \frac{z - \bar{z}}{2} = 1 \end{eqnarray*}$

07.11.2015, 22:39

tatmas

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Zitat:

Das sind drei Summanden unglücklich

Ja und? Wieso ist das mit den drei Summanden ein Problem. Es interessiert nur der Realteil.
Rechne bitte mal das Inverse zu z=2+2i aus und multipliziere sie mit z.

07.11.2015, 23:16

legendany

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Stimmt, kann das ja eh als Re(v)Re(w) + (Re(v)Im(w) + Im(v))i schreiben...

Ist das Inverse zu z = 2+2i nicht 1/(2+2i) ? Big Laugh

Ansonsten gibt es noch $\begin{eqnarray*} \frac{\bar{z}}{|z|^{2}} \end{eqnarray*}$ und somit wäre das Inverse $\begin{eqnarray*} \frac{1 - i}{4} \end{eqnarray*}$ , aber was bringt mir das nun?

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