Rekursiv gegebene Folge untersuchen

07.11.2015, 22:21

knallschmand

Rekursiv gegebene Folge untersuchen

Moin,

es geht um die Folge:

$\begin{eqnarray*} a_{n+1} = a_{n} *(\cos(\pi * a_{n} ))^2 \end{eqnarray*}$

( $\begin{eqnarray*} x_{1} \end{eqnarray*}$ ist beliebig aber fest und >=0)

Ich soll nun mithilfe des Monotoniekriteriums zeigen, dass die Folge konvergiert und beweisen, dass der Grenzwert dieser Folge eine nichtnegative ganze Zahl ist.

Zunächst würde ich festhalten, dass, wenn xn eine ganze Zahl wird, die Folge "stehenbleibt", also ab da immer die gleichen Glieder rauskommen werden.

Weiterhin werden alle Folgeglieder null, wenn xn=1/2+k (k ganzzahlig)(Keine Ahnung, ob ich das überhaupt so schreiben kann).

Also, dass die Folge monoton fallend ist, ist mir persönlich klar, da xn+1<=xn für alle n; auch die Beschränktheit sowohl nach oben, als auch nach unten ist eigentlich klar.
Aber wie verpack ich sowas in einen formal korrekten Beweis? Das ist irgendwie immer der Punkt, an dem ich Probleme kriege..
Wäre lieb, wenn ihr mir helfen könntet.

07.11.2015, 23:06

Dangalf

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1) Zeige, dass die Folge nach unten beschränkt ist, mit einer möglichst guten unteren Schranke, Dein Vorschlag?
2) Zeige die Monotonie mit Hilfe der Rekursionsformel.
3) Schließe auf die Konvergenz.
4) Beweise mit Hilfe von $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} a_{n+1} = \lim_{n \to \infty} a_{n} \end{eqnarray*}$ den Rest. Augenzwinkern

Beginnen wir mit 1). Zu zeigen ist $\begin{eqnarray*} a_n \ge u \end{eqnarray*}$ , wobei Du bitte statt $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ eine geeignete untere Schranke einsetzt.

08.11.2015, 10:15

knallschmand

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Moin.

$\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ >=0, da $\begin{eqnarray*} a_{1} \end{eqnarray*}$ >=0 und der Cosinus durch das Quadrat immer höchstens Null werden kann aber Nie negativ.

Kann man das so stehen lassen, als Beweis für Beschränktheit?

08.11.2015, 12:16

knallschmand

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Ich hab jetzt folgendes aufgeschrieben:

1) Beschränktheit

cos(pi*xn)^2 wird höchstens 1, also ist die Folge durch x1 nach oben beschränkt, da x1=1*x1

cos(pi*xn))^2 wird nie negativ, dadurch wird auch xn nie negativ, da x1 >= Null, also ist die Folge mit dem infimum 0 beschränkt.

2) Monotonie x_(n+1)<=x_n, da cos(pi*xn)^2 <=1 --->also ist die Folge monoton fallend

3) Da die Folge monoton fällt und beschränkt ist, konvergiert sie!

4)Hier dürfen wir laut Übungszettel den Satz

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \cos a_{n} = \cos (\lim_{n \to \infty } a_{n}) \end{eqnarray*}$

benutzen.

Dann kann man zeigen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} x_{n+1} = \lim_{n \to \infty} x_n * \lim_{n \to \infty} \cos(pi*x_n)^2 \end{eqnarray*}$
=> $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} x_{n+1} = \lim_{n \to \infty} x_n * \cos(pi*\lim_{n \to \infty} x_n)^2 \end{eqnarray*}$

Diese Gleichung wird wahr, wenn der limes Null wird, oder aber wenn der cosinus Ausdruck Eins wird, was genau dann der Fall ist, wenn lim x_xn ganzzahlig ist.--Also ist der Grenzwert entweder Null oder Ganzzahlig.

(Ich gebe zu, ich hab mir bei der letzten Aufgabe helfen lassen) Es wäre trotzdem cool, wenn mal jemand drüber schaut, ob das alles so richtig ist.

Liebe Grüße

09.11.2015, 00:10

Dangalf

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OK, es sieht richtig aus, an manchen Stellen für meinen Geschmack aber wirklich zu wenig "formal" ist, wie Du ja selbst in Deinem Eingangsposting bemerkt hast.

Verbesserungsvorschläge:

Bleib bei $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ und achte auf die Klammern um die Cosinusfunktion beim Quadrieren!

Das Argument für die untere Schranke kann man leicht zu einem schön formalen (sehr einfachen) Induktionsbeweis umbauen.
Die Existenz einer oberen Schranke wird für den Beweis nicht benötigt, das würde ich weglassen.

Am Monotoniebeweis ist nichts auszusetzen, weil $\begin{eqnarray*} a_n \ge 0 \end{eqnarray*}$ bereits bewiesen wurde, was ja hier benötigt wird.

Für die Konvergenz genügt wegen "monoton fallend", wie erwähnt, "nach unten beschränkt".

Für die Berechnung der möglichen Limits definiere $\begin{eqnarray*} a := \lim_{n \to \infty} a_n \end{eqnarray*}$ und verwende $\begin{eqnarray*} a = \lim_{n \to \infty} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ (denn die Teilfolge einer konvergenten Folge ist ebenfalls konvergent mit dem selben Limes). Dann kannst Du bei
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} a_{n+1} = (\lim_{n \to \infty} a_n) \cdot (\cos(\pi \lim_{n \to \infty} a_n))^2 \end{eqnarray*}$
einsetzen und erhältst eine übersichtliche Gleichung für $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ , die Du weiter umformst und löst:
$\begin{eqnarray*} a = a \cdot (\cos(\pi a))^2 \iff a\cdot (1 - (\cos(\pi a))^2) = 0 \iff a \cdot (\sin(\pi a))^2 = 0 \iff a \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$

Aus $\begin{eqnarray*} a_n \ge 0 \end{eqnarray*}$ folgt auch $\begin{eqnarray*} a \ge 0 \end{eqnarray*}$ , das fehlt bei Dir noch.

09.11.2015, 18:31

knallschmand

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Zitat:

Original von Dangalf

Das Argument für die untere Schranke kann man leicht zu einem schön formalen (sehr einfachen) Induktionsbeweis umbauen.

...

$\begin{eqnarray*} a = a \cdot (\cos(\pi a))^2 \iff a\cdot (1 - (\cos(\pi a))^2) = 0 \iff a \cdot (\sin(\pi a))^2 = 0 \iff a \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$

Aus $\begin{eqnarray*} a_n \ge 0 \end{eqnarray*}$ folgt auch $\begin{eqnarray*} a \ge 0 \end{eqnarray*}$ , das fehlt bei Dir noch.

Okay, herzlichen dank erstmal für die Antwort.

Kannst du mir bei dem Induktionsbeweis vielleicht nochmal auf die Sprünge helfen?

Ich würde das jetzt so aufschreiben:

0<=x_(n+1)<=x_n , für alle n, da 0<=cos(pi*xn)^2<=1 und x1>=0 . Damit ist die untere Schranke doch gezeigt, oder? (Damit zeigt man doch sogar Monotonie und Beschränktheit gleichermaßen, nicht?)

$\begin{eqnarray*} a = a \cdot (\cos(\pi a))^2 \iff a\cdot (1 - (\cos(\pi a))^2) = 0 \iff a \cdot (\sin(\pi a))^2 = 0 \iff a \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$

Hier würde mich noch interessieren wie man auf $\begin{eqnarray*} (1 - (\cos(\pi a))^2) = 0 \end{eqnarray*}$
kommt?

Vielen Dank nochmal

09.11.2015, 23:10

Dangalf

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Zum Induktionsbeweis für $\begin{eqnarray*} a_n \ge 0 \quad \forall n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

Induktionsanfang: $\begin{eqnarray*} a_1 \ge 0 \end{eqnarray*}$ gilt laut Angabe
Induktionsvoraussetzung: $\begin{eqnarray*} a_n \ge 0 \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$
Induktionsbehauptung: $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \ge 0 \end{eqnarray*}$
Induktionsschritt: $\begin{eqnarray*} a_n \ge 0 \end{eqnarray*}$ laut Induktionsvoraussetzung, $\begin{eqnarray*} (\cos(\pi a_n))^2 \ge 0 \end{eqnarray*}$ , weil das Quadrat einer reellen Zahl -- $\begin{eqnarray*} \cos(\pi a_n) \end{eqnarray*}$ -- immer $\begin{eqnarray*} \ge 0 \end{eqnarray*}$ ist, daher ist auch das Produkt $\begin{eqnarray*} a_n \cdot (\cos(\pi a_n))^2 \ge 0 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \ge 0 \end{eqnarray*}$ , was zu zeigen war.

Zitat:

0<=x_(n+1)<=x_n , für alle n, da 0<=cos(pi*xn)^2<=1 und x1>=0

Ja, kurz, knapp, richtig. Wenn's dem Prüfer reicht, OK.

Zur Umformung bei der Limesberechnung:
$\begin{eqnarray*} a = a \cdot (\cos(\pi a))^2 \iff a\cdot (1 - (\cos(\pi a))^2) = 0 \iff a \cdot (\sin(\pi a))^2 = 0 \iff a \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$
Beim ersten Ausdruck auf beiden Seiten die rechte Seite subtrahieren (damit steht rechts 0) und dann links $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ausklammern. Damit es leichter wird, habe ich den trigonometrischen Pythagoras angewendet und dann den Satz vom Nullprodukt, was auf $\begin{eqnarray*} a = 0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} (\sin (\pi a))² = 0 \end{eqnarray*}$ führt. Letzteres ist äquivalent zu $\begin{eqnarray*} \sin (\pi a) = 0 \end{eqnarray*}$ und dies wiederum zu $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} a = 0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ ergibt zusammengefasst wieder $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ .

Wenn man ohne trigonometrischen Pythagoras gleich den Satz vom Nullprodukt auf $\begin{eqnarray*} a\cdot (1 - (\cos(\pi a))^2) = 0 \end{eqnarray*}$ anwendet, kommt man auf $\begin{eqnarray*} a = 0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} 1-(\cos(\pi a))^2 = 0 \end{eqnarray*}$ . Letzteres führt zu $\begin{eqnarray*} \cos(\pi a) = +1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \cos(\pi a) = -1 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb Z_g \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb Z_u \end{eqnarray*}$ , und insgesamt wieder $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ .

09.11.2015, 23:14

knallschmand

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Vielen Dank! Du hast mir sehr geholfen, echt klasse, dass es Leute wie dich gibt!
Ich hoffe, dass ich bald Routine bei diesem Beweisen kriege..

Vielen Dank nochmal!

liebe grüße

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