Zeigen, dass T(G) eine d-dimensionale Mannigfaltigkeit ist

07.11.2015, 23:42

Ronan

Zeigen, dass T(G) eine d-dimensionale Mannigfaltigkeit ist

"Sei $\begin{eqnarray*} T : O \to \mathbb{R}^p \end{eqnarray*}$ eine injektive stetig differenzierbare Abbildung mit $\begin{eqnarray*} d \leq p \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} O \subseteq \mathbb{R}^d \end{eqnarray*}$ offen, sodass d T(x) immer vollen Rang hat.
Sei $\begin{eqnarray*} G \subseteq O \end{eqnarray*}$ offen und beschränkt, sodass $\begin{eqnarray*} G \subseteq O \end{eqnarray*}$ . Man zeige, dass M := T(G) eine d-dimensionale Mannigfaltigkeit ist.
Hinweis: Man zeige zuerst, dass $\begin{eqnarray*} T : \bar{G} \to T( \bar{G} ) \end{eqnarray*}$ ein Homöomorphismus ist."

So haben wir Mannigfaltigkeiten und Homöomorphismen definiert:

Für $\begin{eqnarray*} M \subseteq \mathbb{R}^p \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} p \geq 1 \end{eqnarray*}$ , heißt eine Abbildung $\begin{eqnarray*} \Phi : D \to M mit D \subseteq<br /> \mathbb{R}^d, 0 < d \geq p \end{eqnarray*}$ eine d-dimensionale Einbettung in M, wenn

$\begin{eqnarray*} \emptyset \neq D \end{eqnarray*}$ offene Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^d \end{eqnarray*}$ ist, $\begin{eqnarray*} \Phi (D) \end{eqnarray*}$ offene Teilmenge von M bzgl. der Spurtopologie ist, dh. $\begin{eqnarray*} \Phi (D) = M \cap U \end{eqnarray*}$ für eine in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^p \end{eqnarray*}$ bezüglich der Euklidischen Topologie offene Teilmenge U, und $\begin{eqnarray*} \Phi : D \to \Phi (D) \end{eqnarray*}$ ein Homöomorphismus ist

$\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ als Abbildung von D nach $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^p \end{eqnarray*}$ stetig differenzierbar ist

$\begin{eqnarray*} d \Phi (s) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} s \in D \end{eqnarray*}$ injektiv ist, d.h. $\begin{eqnarray*} d \Phi(s) \end{eqnarray*}$ maximalen Rang d hat

Eine nichtleere Teilmenge $\begin{eqnarray*} M \subseteq \mathbb{R}^p \end{eqnarray*}$ heißt d-dimensionale $\begin{eqnarray*} (0 < d \leq p) \end{eqnarray*}$ Mannigfaltigkeit im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^p \end{eqnarray*}$ , falls es zu jedem $\begin{eqnarray*} x \in M \end{eqnarray*}$ eine d-dimensionale Einbettung $\begin{eqnarray*} \Phi : D \to M \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x \in \Phi (D) \end{eqnarray*}$ gibt.

Ein Homöomorphismus: Eine in beide Richtungen stetige Abbildung, wobei $\begin{eqnarray*} \Phi (D) \end{eqnarray*}$ mit der Spurtopologie versehen ist

Also muss ich eigentlich nur zeigen, dass $\begin{eqnarray*} T(G) = M \cap U \end{eqnarray*}$ ist und dass $\begin{eqnarray*} T: G \to T(G) \end{eqnarray*}$ ein Homöomorphismus ist.

$\begin{eqnarray*} T(G) = T(G) \cap \mathbb{R}^p \end{eqnarray*}$ (kann ich das so machen?)

Im Hinweis steht, dass man zeigen soll, dass $\begin{eqnarray*} T : \bar{G} \to T( \bar{G} ) \end{eqnarray*}$ ein Homöomorphismus ist, also dass es in beide Richtungen stetig ist. T ist stetig differenzierbar, also ist es sicher in eine Richtung stetig, wie kann ich aber zeigen, dass die Umkehrabbildung stetig ist? Und warum kann das nicht gleich für G machen, warum muss ich zuerst den Abschluss nehmen?

08.11.2015, 00:05

10001000Nick1

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RE: Zeigen, dass T(G) eine d-dimensionale Mannigfaltigkeit ist

Zitat:

Original von Ronan
Sei $\begin{eqnarray*} G \subseteq O \end{eqnarray*}$ offen und beschränkt, sodass $\begin{eqnarray*} G \subseteq O \end{eqnarray*}$ .

Fehlt da noch irgendwas? So macht der Zusatz "sodass $\begin{eqnarray*} G\subseteq O \end{eqnarray*}$ " wenig Sinn.

Zitat:

Original von Ronan
T ist stetig differenzierbar, also ist es sicher in eine Richtung stetig, wie kann ich aber zeigen, dass die Umkehrabbildung stetig ist?

Eine stetige Bijektion von einem kompakten Raum in einen Hausdorffraum ist ein Homöomorphismus.

08.11.2015, 00:39

Ronan

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Oh ja, tut mir leid! $\begin{eqnarray*} \bar{G} \subseteq O \end{eqnarray*}$

Na ja, die Abbildung ist stetig und injektiv, aber Surjektivität kann man nicht wirklich folgern, oder? Deshalb hatte ich es mit der "in beide Richtungen stetig"-Definition versucht. Oder muss eine Abbildung vollen Rang haben, wenn die Ableitung vollen Rang hat?

08.11.2015, 00:45

10001000Nick1

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Der Wertebereich von $\begin{eqnarray*} T:\overline G\to T(\overline G) \end{eqnarray*}$ ist doch gerade so gewählt, dass die Funktion surjektiv ist.

Und wenn du zeigen willst, dass die Funktion "in beide Richtungen stetig" ist, brauchst du natürlich auch die Bijektivität. Sonst existiert doch gar keine Umkehrfunktion, von der du die Stetigkeit zeigen könntest.

Zitat:

Original von Ronan
Oder muss eine Abbildung vollen Rang haben, wenn die Ableitung vollen Rang hat?

Was soll denn der Rang einer beliebigen Abbildung sein? Dieser Begriff ist nur für lineare Abbildungen (wie z.B. die Ableitung) definiert.

08.11.2015, 01:03

Ronan

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Ahh ok, danke! Ich hatte die Begriffe mit denen für lineare Abbildungen verwechselt. Also ist T bijektiv und stetig (da stetig differenzierbar). $\begin{eqnarray*} \bar{G} \end{eqnarray*}$ ist eine abgeschlossene und beschränkte Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^d \end{eqnarray*}$ , also kompakt. Warum ist $\begin{eqnarray*} T( \bar{G} ) \end{eqnarray*}$ hausdorffsch?

08.11.2015, 01:20

10001000Nick1

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Zitat:

Original von Ronan
Also ist T bijektiv und stetig (da stetig differenzierbar).

So würde ich das nicht schreiben. Erstmal solltest du sagen, dass du hier die Einschränkung $\begin{eqnarray*} T:\overline G\to T(\overline G) \end{eqnarray*}$ meinst, und nicht die ursprüngliche Funktion $\begin{eqnarray*} T:O\to\mathbb R^p \end{eqnarray*}$ (eigentlich ist das eine andere Funktion, aber oft bezeichnet man die Einschränkung mit demselben Funktionsnamen; dann sollte man aber jeweils Definitions- und Wertebereich angeben).
Von Differenzierbarkeit spricht man meist nur auf offenen Mengen (es gibt zwar eine Möglichkeit, das auch auf Randpunkten zu definieren, aber das brauchst du hier nicht). Ich würde einfach sagen: $\begin{eqnarray*} T:O\to\mathbb R^p \end{eqnarray*}$ ist stetig differenzierbar, also stetig. Und jede Einschränkung einer stetigen Funktion ist stetig, also auch $\begin{eqnarray*} T:\overline G\to T(\overline G) \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Ronan
Warum ist $\begin{eqnarray*} T( \bar{G} ) \end{eqnarray*}$ hausdorffsch?

Weil $\begin{eqnarray*} T(\overline G)\subseteq\mathbb R^p \end{eqnarray*}$ und Teilräume von Hausdorffräumen wieder Hausdorffräume sind.

08.11.2015, 01:31

Ronan

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Danke!!

Aber warum folgt daraus dann, dass $\begin{eqnarray*} T: G \to T(G) \end{eqnarray*}$ ein Homöomorphismus ist? Ich konnte in unserem Skript nichts finden, das Homöomorphismen und den Abschluss einer Menge verbindet...

08.11.2015, 09:07

10001000Nick1

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Die Stetigkeit von $\begin{eqnarray*} T:G\to T(G) \end{eqnarray*}$ sollte klar sein, ebenso die Bijektivität.
Die Umkehrfunktion $\begin{eqnarray*} f^{-1}:T(G)\to G \end{eqnarray*}$ ist eine Einschränkung der (stetigen) Funktion $\begin{eqnarray*} T^{-1}:T(\overline G)\to\overline G \end{eqnarray*}$ , also ebenfalls stetig.

Die Einschränkung eines Hömöomorphismus ist immer Homömorphismus.

08.11.2015, 11:59

Ronan

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Danke!!

Dann sollte es fertig sein.

Ich muss dann noch zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \Phi (D) = M \cap U \end{eqnarray*}$ für eine in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^p \end{eqnarray*}$ bezüglich der Euklidischen Topologie offene Teilmenge U ist. Wähle $\begin{eqnarray*} U= \mathbb{R}^p \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} \Phi (D) = M \cap U = \Phi (D) \cap \mathbb{R}^p \end{eqnarray*}$ Kann ich das einfach so machen?

08.11.2015, 12:34

Ronan

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In diesem Fall natürlich $\begin{eqnarray*} T(D) = M \cap U = T(D) \cap \mathbb{R}^p \end{eqnarray*}$

08.11.2015, 23:20

10001000Nick1

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Wenn du $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ ersetzt, stimmt das so.

15.11.2015, 11:18

Ronan

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Danke =)