Ist diese Menge A kompakt?

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08.11.2015, 16:18	Frosi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist diese Menge A kompakt? Meine Frage: Entscheiden Sie, welche der folgenden Aussagen wahr oder falsch sind und begründen Sie Ihre Entscheidung: $\begin{eqnarray} A = \left\{ (x,y) \in \mathbb R ^2 \| 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1\right\} \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Eine Menge ist kompakt, wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist. Wenn ich diese beiden Eigenschaften beweisen kann, dann stimmt die Aussage. A ist dann abgeschlossen, wenn jeder Häufungspunkt von A Element von A ist und somit auch ihre Randpunkte enthält. Kann ich sagen, dass A offen ist, da ihr Komplement $\begin{eqnarray} X/A = (-\infty ,0) \cup (1,+ \infty ) \end{eqnarray}$ als Vereinigung endlicher offener Mengen offen ist? Und Beschränktheit ist gegeben, da ich sowohl eine obere (1 für x und y) als auch untere Schranke (0 für x, 1 für y) gegeben habe. Kann ich so argumentieren? Danke für eure Hilfe!
08.11.2015, 18:47	Komplement	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ist diese Menge A kompakt? [quote]Original von Frosi Kann ich sagen, dass A offen ist, da ihr Komplement $\begin{eqnarray} X/A = (-\infty ,0) \cup (1,+ \infty ) \end{eqnarray}$ als Vereinigung endlicher offener Mengen offen ist? Hast du dich hier vertippt? Sollte es vielleicht heißen :" Kann ich sagen das A abgeschlossen ist, da....." ?
08.11.2015, 18:53	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ist diese Menge A kompakt? Das ergibt sowieso überhaupt keinen Sinn, weil rechts eine Teilmenge der reellen Zahlen steht.
08.11.2015, 19:01	Frosi	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ist diese Menge A kompakt? Oh ja, sorry, ich meinte abgeschlossen!! @URL meinst du bei mir, oder bei der Aufgabenstellung? Wenn s bei mir ist, wundert es mich nicht, wenn es falsch ist! Habt ihr einen Ansatz für mich?
08.11.2015, 19:09	Komplement	Auf diesen Beitrag antworten »
Habt ihr vielleicht einen Satz der irgendetwas über Urbilder von stetigen Funktionen im Zusammenhang mit Abgeschlossenheit aussagt?
08.11.2015, 19:13	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
@Frosi: Du schreibst $\begin{eqnarray} X/A = (-\infty ,0) \cup (1,+ \infty ) \end{eqnarray}$ Links steht eine Teilmengen von $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray}$ , rechts eine von $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ Und wieder weg
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08.11.2015, 19:24	Frosi	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh, @URL haha, jetzt fällt mir das auch auf! Also in der Vorlesung habe ich gelernt: ist f stetig und A eine Teilmenge (c) von R abgeschlossen folgt f^-1(A) c R abgeschlossen, dh. Urbilder abgeschlossener Mengen sind abgeschlossen. Hmmm, wenn ich also das auf meine Menge übertragen kann, dann habe ich schon einmal den ersten Teil, also die Abgeschlossenheit, bewiesen, oder? Meintest du diese Aussage @Komplement?
08.11.2015, 19:50	Komplement	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja genau diese Aussage meine ich. Du musst dir nun eine stetige Abb. definieren, deren Bild über A eben abgeschlossen ist. Es sollte eine Abb. aus dem R^2->R^1 sein.
08.11.2015, 20:18	Frosi	Auf diesen Beitrag antworten »
Wäre zum Beispiel die Abbildung F: R^2 -> R, (x,y)->x Der Form denkbar?
08.11.2015, 20:25	Komplement	Auf diesen Beitrag antworten »
Pinzipiell schon. Das Bild von deinem f eingeschränkt auf A ist auch abgeschlossen. Es ist ja [0,1]. Aber das Urbild f^-1([0,1]) ist nicht A. Und genau das brauchst du jetzt noch.
08.11.2015, 20:32	Frosi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ganz primitive Idee : Da 1,0 <= y <= 1 gilt, ist y dann nicht = 1? Kann ich dann also sagen: R^2 -> R, f(x,1)-> I x I (Soll Betrag heißen, falls unleserlich) - dann wäre mein x >= 0 und mein y = 1 .
08.11.2015, 20:40	Komplement	Auf diesen Beitrag antworten »
Dein y soll doch aber zwischen 0 und ein liegen oder etwa nicht?
08.11.2015, 20:42	Komplement	Auf diesen Beitrag antworten »
Edit: Dein y soll doch aber zwischen 0 und 1 liegen oder etwa nicht?
08.11.2015, 20:42	Frosi	Auf diesen Beitrag antworten »
Also in der Aufgabenstellung steht ja, dass 1,0 <= y <= 1 - oder habe ich gerade nur ein Brett vorm Kopf?
08.11.2015, 20:46	Komplement	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ich die Aufgabenstellung richtig lese steht dort 0<=y<=1. Die erste 1 ist doch die Bedingung für x. Lies es vielleicht als ;
08.11.2015, 20:57	Frosi	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh ja!!! Mensch, und ich frage mich die ganze Zeit warum der vorher 1,0 schreibt und danach 1 .... Ok, dann nochmal (fast) von vorne. Ich suche meine Abbildung R^2 -> R. Ich nehme an, dass meine Idee mit (x,y) -> IxI falsch war, ich brauche also eine andere Funktion, die zwischen 0 und 1 bei x und bei y liegt. Bei y würden mir Sinus und Cosinus einfallen - aber bei x stehe ich auf dem Schlauch! Hast du noch einen Tipp für mich?
08.11.2015, 21:18	Komplement	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok wir können auch anderherum vorgehe, dass heißt von dem R^1 in den R^2 abbilden. Die Bilder abgeschlossener Mengen über stet. Funktionen sind ebenfalls abgeschlossen. Jetzt könnte man mit dem Sinus weiter arbeiten.
08.11.2015, 21:25	Frosi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, also für x= 0 ist auch y=0 Im Intervall von 0 <= x <= 1 ist sin(x) für alle x stetig, dasselbe gilt auch für y. Es werden also sowohl alle inneren Punkte, als auch die Randpunkte von meiner Funktion erfasst. Muss ich jetzt zeigen, dass für mein x (was von 0 bis 1 läuft) meine y auch lediglich von 0 bis 1 laufen? Habe ich dann die Abgeschlossenheit bewiesen?

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