Beweis Äquivalenzrelation

08.11.2015, 17:30

MioMioMathe

Beweis Äquivalenzrelation

Guten Abend:

Aufgabenstellung:

Es sei $\begin{eqnarray*} P \subseteq P(A) \end{eqnarray*}$ eine Partition von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ . Die Relation $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ sei definiert durch:

$\begin{eqnarray*} <br /> xRy <=> \exists M \in P: x \in M \wedge y \in M<br /> \end{eqnarray*}$

Zeigen/Beweisen Sie: $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ ist eine Äquivalenzrelation auf $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ .

Meine Problem:

Ich habe leider keine Ahnung wie ich beweisen kann das R eine Äquivalenzrelation auf A ist.
Mir fällt kein Lösungsansatz ein unglücklich

.

Daher bitte ich um nen Denkanstoß und im optimalsten Falle mit mir Schritt für Schritt die Aufgabe durchzugehen.

Ich hoffe das das möglich ist und bedanke mich schonmal im Voraus!

Freude

08.11.2015, 18:32

Elvis

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Fange mit dem einfachsten Axiom an, das ist die Reflexivität. Zu zeigen ist : $\begin{eqnarray*} \forall x\in A \; :xRx \end{eqnarray*}$
Wenn Du damit fertig bist weißt Du vermutlich schon, wie einfach der Beweis der Symmetrie und der Transitivität ist.

08.11.2015, 19:30

MioMioMathe

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Schonmal vielen Dank für die Antwort!

Also kann ich das beweisen indem ich die drei Eigenschaften einer Äquivalenzrelation aufzeige, verstanden.

Nur: wie kann ich das machen? Indem ich mir Werte für A ausdenke und diese dann kreuze?
Und anhand der sich ergebenden Tupel den Beweis aufführe? Oder kann man das auch allgemein lösen, ohne Werte einzusetzen?

08.11.2015, 20:00

Elvis

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reflexiv: $\begin{eqnarray*} (\forall x\in A\exists M\in P(A):x\in M)\Rightarrow x\in M\wedge x\in M\Rightarrow xRx \end{eqnarray*}$

Bedenke dies sorgfältig, und beweise Symmetrie und Transitivität analog.

08.11.2015, 20:52

MioMioMathe

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Super!

Warum kommt hier zwei mal $\begin{eqnarray*} x\in M \end{eqnarray*}$ ?:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} x\in M \wedge x\in M \end{eqnarray*}$

-> Ist das notwendig?

Analog zur Reflexivität habe ich für die Symmetrie folgendes:

$\begin{eqnarray*} (\forall x,y\in A\exists M\in P(A):x,y\in M) \Rightarrow x,y\in M\wedge y,x\in M\Rightarrow xRy\Rightarrow yRx \end{eqnarray*}$

Ist das richtig?
Und muss die Partition nicht mit eingebunden werden, also zusätzlich zu $\begin{eqnarray*} P(A) \end{eqnarray*}$ das " $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ "?

08.11.2015, 21:36

Elvis

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Deine Voraussetzung ist falsch. So funktioniert die Logik nicht. Lies nach, was symmetrisch heißt, und versuche es nochmals.

09.11.2015, 11:29

MioMioMathe

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Meine Voraussetzung für Symmetrie ist folgende:

$\begin{eqnarray*} <br /> \forall x,y \in M: (xRy \Rightarrow yRx)<br /> \end{eqnarray*}$

Wieso habe ich diese falsch umgesetzt? Bin am verzweifeln ...

09.11.2015, 13:03

Elvis

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Deine Voraussetzung $\begin{eqnarray*} \forall x,y\in A \exists M\in P(A):x,y\in M \end{eqnarray*}$ ist falsch für alle $\begin{eqnarray*} x\in M,y\in N; M,N\in P(A); M\ne N \end{eqnarray*}$ .

Das letze was du geschrieben hast ist nicht die Voraussetzung, das ist die Behauptung (mit $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ).
Die Voraussetzung für Symmetrie ist $\begin{eqnarray*} x,y\in A\wedge xRy \end{eqnarray*}$ . Was $\begin{eqnarray*} xRy \end{eqnarray*}$ bedeutet, steht in Deinem 1. Beitrag.

11.11.2015, 13:12

MioMioMathe

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Danke nochmals...

leider komme ich aber nicht viel weiter. Ich werde später nocheinmal auf den Beitrag zurückkommen und mich jetzt nochmals mit den Grundlagen der Logik auseinandersetzen.

Denke das das sonst nicht viel Sinn hat!

Bis die Tage Wink

11.11.2015, 13:21

Elvis

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In jeder Einführung in die Mengenlehre findest Du den Beweis, dass die Äquivalenzrelationen auf einer Menge A genau den Partitionen (d.h. Klasseneinteilungen) von A entsprechen. Die eine Richtung dieser Aussage sollst Du in dieser Aufgabe beweisen. Tipp: Lies den Satz und Beweis.

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