Vektorprodukt Flächeninhalt

08.11.2015, 17:40

felixd

Vektorprodukt Flächeninhalt

Hallo,

ich bin gerade am lösen einer Aufgabe und komme nicht weiter die Aufgabe lautet wie folgt.

Gesucht sind alle Punkte der (x,y) - Ebene, die mit dem Nullpunkt und dem Punkt (0/4/3) ein Dreieck mit dem Flächeninhalt 15 bilden.

Der Betrag des Vektorproduktes ist ja der Flächeninhat eine Paralellogramms also ist sozusagen die Hälfte davon gesuch tso meine Überlegung, weil A(Dreieick) = 0,5*g*h.

Meine Überlegung war jetzt das ich ja die Grundseite schon habe, weil diese ist doch sozusagen vom Nullpunkt zum Punkt (0/4/3), also der Betrag aus diesem Punkt das ist 5.

Oder liege ich mit dem Ansatz falsch?

Jetzt würde ich als nächstes den anderen Vektor suchen, welcher als Betrag 6 ergeben muss, weil A(Dreieck)=0,5*5*6=15.

Wie komme ich jetzt auf die gesuchten Punkte, oder sind meine Überlegungen komplett falsch???

Danke im voraus !!! verwirrt

08.11.2015, 17:46

Bürgi

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Vektorprodukt Flächeninhalt
Guten Tag,

nur ein Hinweis:

Zitat:

Gesucht sind alle Punkte der (x,y) - Ebene

d.h., die dritte Koordinate der gesuchten Vektoren muss null sein.

08.11.2015, 21:51

felixd

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay danke für die Antwort, aber wie hilft mir das hier weiter, das heiß das z=0 ist und das Dreieck in der Ebene liegt. Aber wie hilft mir das hier weiter. ImPrinzip muss doch der gesuchte Punkt dann (0/6/0) lauten oder??? verwirrt

08.11.2015, 22:05

Bürgi

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

beschränken wir uns erst einmal auf den Fall, dass der Vektor $\begin{eqnarray*} \vec p = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ tatsächlich die Grundseite des Dreiecks sein soll. Dann suchst Du eine Höhe auf $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{OP} \end{eqnarray*}$ mit der Länge 6. Das Ganze sieht dann aus wie ein "Zelt".

EDIT: Ich habe mal versucht, in einer Skizze zu zeigen, wie das aussehen könnte:
[attach]39657[/attach]

Die grünen Strecken sollen die Höhen mit der Länge 6 sein. Die Dreiecke selber sind nicht eingezeichnet.

14.11.2015, 18:53

felixd

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für den Aufwand mit der Skizze, so wird das ganzr ein wenig anschaulicher, das heißt also ich suche eine Vekotor dessen Betrag 6 ist? Hat das was mit der Formel zu tun wie weit ein Punkt von einer Geraden in unserem Fall von der Grundseite entfernt ist???

14.11.2015, 19:11

felixd

Auf diesen Beitrag antworten »

Ist es richtig das man sagen kann, wir haaben einen Ortsvektor (0/4/3) und einen Betrag vom Richtungsvektor (6) und suchen jetzt den anderen Ortsvektor? oder ist das blödsinn?

14.11.2015, 19:16

Bürgi

Auf diesen Beitrag antworten »

Guten Abend,

im Prinzip schon, aber ...

Ich habe jetzt die vorherige Skizze etwas verändert und mal ein mögliches Dreick eingezeichnet:

[attach]39741[/attach]

Man kann sich allerdings das Leben etwas einfacher machen.

Sicherlich ist der Punkt $\begin{eqnarray*} H_1\left(-6 \mid 0 \mid 0\right) \end{eqnarray*}$ der Endpunkt einer Höhe auf den gegebenen Vektor und $\begin{eqnarray*} |\overrightarrow{OH_1}| = 6 \end{eqnarray*}$ . Die vertikal auf der xy-Ebene stehende Höhe hat den Fußpunkt $\begin{eqnarray*} H_2 \end{eqnarray*}$ , der sich auf der y-Achse befindet und der von der Geraden $\begin{eqnarray*} \overline{OP} \end{eqnarray*}$ einen Abstand von 6 LE hat.

Die Strecke $\begin{eqnarray*} H_1H_2 \end{eqnarray*}$ enthält dann die Endpunkte der grünen Höhen.

EDIT: Im Übrigen hast Du recht willkürlich den Vektor $\begin{eqnarray*} \vec p \end{eqnarray*}$ zur Grundseit eines Dreicks erklärt. Steht so nicht in der Aufgabe. Wie sehe denn das Dreieck aus, wenn Punkt P die Spitze des Dreiecks wäre und die Grundseit in der xy-Ebene wird gesucht?

14.11.2015, 19:49

felixd

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay aber ich verstehe immer noch nicht wie jetzt den anderen Ortsvektor bestimme, geht das mit der Parameterdarstellung? also ich könnte doch den Betrag von 6 als Paramter nehmen oder nicht ?
Versteh nich so ganz was ich jetzt zu tun habe verwirrt

14.11.2015, 19:54

felixd

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} x_1 \\ y_2 \\ 0\end{pmatrix} = |6| \end{eqnarray*}$

Lässt sich das so sagen oder ist das falsch?

14.11.2015, 21:26

Bürgi

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

mit Deinem Ansatz bestimmst du alle Punkte, die vom Punkt P 6 LE entfernt sind und in der xy-Ebene liegen. Das ergibt einen Kreis um (0 / 4 / 0) in der xy-Ebene mit dem Radius $\begin{eqnarray*} r=3\sqrt3 \end{eqnarray*}$ . Mit der Entfernung hast Du noch keinen Abstand bestimmt, der aber als Dreieckshöhe zwingend notwendig ist.

Mein Vorschlag zielte darauf, dass Du von der gesuchten Punktmenge zwei Punkt bestimmst, nämlich $\begin{eqnarray*} H_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} H_2 \end{eqnarray*}$ , zwischen denen die gesuchten Punkte auf einer Geraden liegen.

Wie Du zu $\begin{eqnarray*} H_1 \end{eqnarray*}$ kommst, dürfte offensichtlich sein(?). $\begin{eqnarray*} H_2 \end{eqnarray*}$ ist der Punkt auf der y-Achse, der von der Geraden $\begin{eqnarray*} OP: \vec x = t \cdot \vec p \end{eqnarray*}$ den Abstand 6 LE hat.

Aus diesen Überlegungen ergeben sich mit $\begin{eqnarray*} H_2(0 / h / 0) \end{eqnarray*}$ zwei Gleichungen:
1. Höhe steht senkrecht auf der Geraden OP:

$\begin{eqnarray*} \left(\begin{pmatrix}0\\ h \\0 \end{pmatrix} - t \cdot \begin{pmatrix}0\\ 4 \\3 \end{pmatrix} \right) \cdot \begin{pmatrix}0\\ 4 \\3 \end{pmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$

2. Höhe hat die Länge 6:

$\begin{eqnarray*} \left|\begin{pmatrix}0\\ h \\0 \end{pmatrix} - t \cdot \begin{pmatrix}0\\ 4 \\3 \end{pmatrix} \right|=6 \end{eqnarray*}$

Bestimme h und t und damit die Koordinaten des Punktes $\begin{eqnarray*} H_2 \end{eqnarray*}$

14.11.2015, 22:31

felixd

Auf diesen Beitrag antworten »

Kannst du mir erklären, warum wir bei den Gleichungen Minus rechnen, lautet ncht die allgemeine Formel g: $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ : Ortsvektor+t * Richtungsvektor..

15.11.2015, 07:32

Bürgi

Auf diesen Beitrag antworten »

Guten Morgen,

die Richtung zwischen dem Punkt A mit dem Ortsvektor $\begin{eqnarray*} \vec a \end{eqnarray*}$ und dem Punkt B mit dem Ortsvektor $\begin{eqnarray*} \vec b \end{eqnarray*}$ wird bestimmt durch:

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{AB} = \vec b - \vec a \end{eqnarray*}$ ..... und ..... $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{BA} = \vec a - \vec b \end{eqnarray*}$

Die Gleichung der Geraden OP lautet ursprünglich

$\begin{eqnarray*} OP: \vec x = \begin{pmatrix}0 \\ 0\\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}0 \\ 4\\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Den Nullvektor habe ich weggelassen.

Die 1. Gleichung meiner vorherigen Nachricht stellt also die Richtung zwischen dem Punkt $\begin{eqnarray*} H_2 \end{eqnarray*}$ und einem beliebigen Punkt der Geraden OP dar, multipliziert mit dem Richtungsvektor von OP. Dieses Produkt muss null sein, damit diese Vektoren senkrecht auf einander stehen.
Mit der 2. Gleichung der vorherigen Nachricht wird die Länge des Vektors zwischen $\begin{eqnarray*} H_2 \end{eqnarray*}$ und einem beliebigen Punkt der Gerade OP berechnet. Laut Aufgabenstellung soll die Länge 6 LE betragen.
Beide Gleichungen müssen gleichzeitig erfüllt werden.

15.11.2015, 09:58

felixd

Auf diesen Beitrag antworten »

Guten Morgen,

danke für die schnelle Antwort.

[attach]39747[/attach]

Kann man sich das ganze in etwa so vorstellen also wir suchen jetzt den Richtungsvektor der auf der Höhe 6 liegt, damit das Dreieck einen Flächeninhalt von 15 hat...? verwirrt

Okay jetzt kann ich deine zwei Gleichungen in etwa nachvollziehen.

15.11.2015, 10:12

felixd

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich deine erste Gleichung zusammen fasse kommt raus,

$\begin{eqnarray*} 0+4h+0-0-16t-9t=0 \end{eqnarray*}$

=> $\begin{eqnarray*} 4h - 25t = 0 \end{eqnarray*}$

Bei der zweiten gleichung weiss ich nicht wie ich da ran gehen soll...

16.11.2015, 08:40

Bürgi

Auf diesen Beitrag antworten »

Guten Morgen,

Deine Umformung der 1. Gleichung ist richtig. Freude

Bei der 2. Gleichung sollst Du die Länge eines Vektors bestimmen.
Allgemein gilt: Vom Punkt P(a / b / c) mit dem Ortsvektor $\begin{eqnarray*} \vec p = \begin{pmatrix}a\\b\\c \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ zum Punkt Q(r / s / t) mit dem Ortsvektor $\begin{eqnarray*} \vec q = \begin{pmatrix}r \\s \\t \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ zeigt der Vektor $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{PQ} = \vec q - \vec p = \begin{pmatrix}r \\s \\t \end{pmatrix} - \begin{pmatrix}a\\b\\c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}r-a\\s-b\\t-c \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Daraus folgt: Die Länge von $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{PQ} \end{eqnarray*}$ wird mit Hilfe des Pythagoras berechnet:
$\begin{eqnarray*} \left| \overrightarrow{PQ} \right| = \left| \begin{pmatrix}r-a\\s-b\\t-c \end{pmatrix} \right| = \sqrt{(r-a)^2 + (s-b)^2 + (t-c)^2} \end{eqnarray*}$

Bei meiner 2. Gleichung kannst Du die Wurzel durch quadrieren beseitigen, musst allerdings bedenken, dass Quadrieren keine Äquivalenzumformung ist.

16.11.2015, 16:59

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

nur eine Frage:
warum benutzt du das Vektorprodukt nur in der Überschrift, nicht aber zur Lösung deiner Aufgabe verwirrt

18.11.2015, 17:44

felixd

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay mit der 1. Gleichung hab ich jetzt gesagt das die gesuchte Höhe welche sich auf der y- Ebene befindet senkrecht zur x - Achse steht, damit das der Fall ist muss ja Null raus kommen.

Aber welche Seite des Dreiecks berechne ich jetzt mit der 2. Gleichung von dir, du sagt wir berechnen den Richtungsvektor $\begin{eqnarray*} \vec{PQ} \end{eqnarray*}$ ich versteh nicht so ganz....

18.11.2015, 17:54

felixd

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von riwe
nur eine Frage:
warum benutzt du das Vektorprodukt nur in der Überschrift, nicht aber zur Lösung deiner Aufgabe verwirrt

Hättest du einen Vorschlag, wie es mit Hilfe des Vektorproduktes geht?

Oder kann man es hier überhaupt anwenden Da sozusagen der z- Wet gar keine wesentliche Rolle spielt oder ?

18.11.2015, 18:15

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

mein Vorschlag mit dem Vektorprodukt:

$\begin{eqnarray*} A=\frac{1}{2}|\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ 0 \end{pmatrix} \times\begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}|=15 \end{eqnarray*}$
liefert alle Punkte bzw. deren geometrischen Ort in der xy - Ebene mit der gewünschten Eigenschaft

(vermutlich smile

)

18.11.2015, 21:18

felixd

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank erst einmal für die schnelle Antwort.

Die von dir genannte Gleichung klingt auf jeden Fall nachvollziebar.

Heit das in dem Fall, dass

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

die Höhe ist und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

die Grundseite???

18.11.2015, 21:24

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

eher nicht.
für jedes 3eck gilt

$\begin{eqnarray*} A=\frac{1}{2}a\cdot b sin\gamma \end{eqnarray*}$

nun vergleiche dies mit der Definition des (Betrages des) Vektorproduktes

18.11.2015, 21:43

felixd

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay alles klar vertehe, der Winkel $\begin{eqnarray*} b sin\gamma \end{eqnarray*}$ ist also nicht zwingend notwendig um den Flächeninhalt zu berechnen oder?

Wenn ich das zusamenfasse steht da:

$\begin{eqnarray*} A = \frac{1}{2}|\begin{pmatrix} 3x2 \\ -3x1 \\ 4x1 \end{pmatrix}| = 15 \end{eqnarray*}$

??? verwirrt

18.11.2015, 21:48

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

wie wäre es nun mit Quadrieren (siehe oben: der Tipp von Bürgi)

18.11.2015, 21:58

felixd

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} A = \frac{1}{2} \sqrt{(3x2)^2 +(-3x1)^2 + (4x1)^2} =15 \end{eqnarray*}$

wie löse ich das weiter auf ??

18.11.2015, 22:05

felixd

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich das zusammenfasse steht da:

$\begin{eqnarray*} A = \frac{1}{2} * (3x2 + 5x1) = 15 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A = 1,5x2 + 2,5x1 = 15 \end{eqnarray*}$

18.11.2015, 22:10

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von felixd
$\begin{eqnarray*} A = \frac{1}{2} \sqrt{(3x2)^2 +(-3x1)^2 + (4x1)^2} =15 \end{eqnarray*}$

wie löse ich das weiter auf ??

QUADRIEREN QUADRIEREN QUADRIEREN

18.11.2015, 22:19

felixd

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} A= 0,5 * (3x2 + 5x1) = 15 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A = 1,5x2 + 2,5x1 = 15 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A = x2 = \frac{15 - 2,5x1}{1,5} \end{eqnarray*}$

das heißt so und dann in die Asugangsgleichung einsetzten um x1 auszurechnen?

18.11.2015, 22:26

felixd

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich das ganze jetzt weiter rechen dann bekomme ich für x1 = 0 und für x2= 10,

setze ich das jetzt in die von dir vorgeschlagenen ausgansgleichung, dann stimmt die gleichung.

also..

$\begin{eqnarray*} A = \frac{1}{2}|\begin{pmatrix} 3*10 \\ -3*0 \\ 4*0 \end{pmatrix} | = 15 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A = \frac{1}{2} * 30 = 15 \end{eqnarray*}$

Hammer

18.11.2015, 22:52

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von riwe

Zitat:

Original von felixd
$\begin{eqnarray*} A = \frac{1}{2} \sqrt{(3x2)^2 +(-3x1)^2 + (4x1)^2} =15 \end{eqnarray*}$

wie löse ich das weiter auf ??

QUADRIEREN QUADRIEREN QUADRIEREN

immer noch QUADRIEREN:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4}(9x^2_2+....)=225 \end{eqnarray*}$

19.11.2015, 18:13

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von riwe
QUADRIEREN QUADRIEREN QUADRIEREN

Ich verstehe, daß man da nur noch schimpfen will. Es ist ja wirklich zum Verzweifeln. Aber was hilft's! Ich glaube, hier kann man nur noch eine Musterrechnung vorführen und hoffen, daß felixd selbst merkt, daß er im Bereich der Algebra nicht viel kann und folglich viel nachzuarbeiten hat. Aber da muß er selber drauf kommen.

$\begin{align*} \frac{1}{2} \sqrt{\left( 3x_2 \right)^2 + \left( -3x_1 \right)^2 + \left( 4x_1 \right)^2} = 15 \end{align*}$

Zunächst heben sich hier die Wurzel und die Quadrate nicht gegenseitig auf. Denn wir haben unter der Wurzel eine SUMME. Und aus SUMMEN gliedweise die Wurzel zu ziehen, ist strengstens untersagt. Wir multiplizieren die Gleichung mit $\begin{align*} 2 \end{align*}$ und erhalten

$\begin{align*} \sqrt{\left( 3x_2 \right)^2 + \left( -3x_1 \right)^2 + \left( 4x_1 \right)^2} = 30 \end{align*}$

Beide Seiten der Gleichung sind positiv. Wir können quadrieren:

$\begin{align*} \left( 3x_2 \right)^2 + \left( -3x_1 \right)^2 + \left( 4x_1 \right)^2 = 900 \end{align*}$

Gliedweises Quadrieren der PRODUKTE (bei SUMMEN wäre das VERBOTEN):

$\begin{align*} 9 {x_2}^2 + 9 {x_1}^2 + 16 {x_1}^2 = 900 \end{align*}$

Zusammenfassen gleichartiger Glieder:

$\begin{align*} 25 {x_1}^2 + 9 {x_2}^2 = 900 \end{align*}$

Und jetzt empfiehlt sich eine Division durch $\begin{align*} 900 \end{align*}$ . Dann erhält man die Standardform einer gewissen Kurve.

Neue Frage »

Antworten »

Vektorprodukt Flächeninhalt

Verwandte Themen