Neutralelement einer Gruppe |
| 08.11.2015, 18:59 | forbin | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Neutralelement einer Gruppe ich habe hier folgende Aufgabe und hätte gerne dazu mal eure Meinung: Es seien (G, ° ) eine Gruppe und a,b Elemente aus G mit a ° b = b. Zeigen Sie, dass dann a=e das neutrale Element von G sein muss. Ok, alles in allem ist doch genau das die Definition des neutralen Elementes, nämlich e°b = b. Und da a°b=b=e°b, ist doch a nunmal das neutrale Element. Oder? 
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| 08.11.2015, 22:08 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » |
Das sehe ich auch so. 
mY+ |
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| 08.11.2015, 22:11 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
Stimmt. Multiplikation der Gleichung von rechts mit dem inversen Element von b ist (auch) ein Beweis. |
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| 08.11.2015, 23:20 | Dangalf | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Neutralelement einer Gruppe forbin, die Definition des neutralen Elementes a verlangt a ° b = b für alle b in der Gruppe, hier kennt man vorerst nur ein b. Die Aufgabe verlangt zu beweisen, dass das aber bereits genügt, was man ja auch leicht wie von Elvis beschrieben machen kann. Und nur aus der Tatsache, dass a°b=b=e°b ist, kann man nicht a=e schließen, siehe z. B. 1*0=0=2*0, dazu muss man schon die Gruppenstruktur verwenden, nämlich dass b ein Inverses hat. |
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| 09.11.2015, 00:18 | forbin | Auf diesen Beitrag antworten » |
Vielen Dank für eure Hinweise. In dem Fall würde ich wie folgt an die Sache rangehen: (Bitte die Zeichen zu entschuldigen, das klappt hier nicht so gut. b(-1) ist das Inverse zu b, o ersetzt den Kringel) Gelte: a o b = b => a o b o b(-1) = b o b(-1) <=> a o (b o b(-1)) = e <=> a o e = e => a= e Gemäß Struktur einer Gruppe habe ich hier Assozitivität und Existenz des Inversen angewendet. |
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| 09.11.2015, 12:20 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
@forbin : passt. @Dangalf : Dein Argument ist falsch, das Gegenbeispiel ist keines. forbin, mYthos und ich schliessen ganz richtig in der Gruppe . ist keine Gruppe. |
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| 09.11.2015, 14:04 | forbin | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ich danke euch für die Unterstützung. Das habe ich nun verstanden.
Es gibt noch einen weiteren Teil der Aufgabe, den ich gerne hier mit reinnehmen möchte. Es sei angenommen, dass G nur aus endlich vielen Elementen besteht. Zeigen Sie, dass dann zu jedem Element g aus G eine natürliche Zahl n existiert, so dass gilt: g^n = e Kann man n auch unabhängig von g wählen? Nun habe ich leider keinen passenden Ansatz. Ich habe mir gedacht, dass ja g^n = g o g o g...o g aber auch bei endlich vielen Elementen weiss ich jetzt nicht, wie mich dass zu e bringt. Könnt mir mir nochmal auf die Sprünge helfen? |
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| 09.11.2015, 14:36 | ollie3 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hallo, Da kann ich dir einen tip geben: Guck dir die Elemente g, g^2, g^3 usw. an und denke daran, das die Gruppe endlich ist und Irgendwann ein element mehrmals auftauchen muss... Gruss ollie3 |
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| 09.11.2015, 14:38 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ja, und dann ist mit |
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| 09.11.2015, 20:25 | forbin | Auf diesen Beitrag antworten » |
So in etwa dachte ich schon. Die Menge G={a,b,e} sei eine Gruppe. Es gilt: a) a^1 = a b) a^2 = a o a Unterfall b1) a^2 = a => a = e b2) a^2 = e => a= e b3) a^2 = b Da weiß ich jetzt leider nicht weiter. Und ist der Ansatz überhaupt der Richtige? |
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| 09.11.2015, 22:12 | Dangalf | Auf diesen Beitrag antworten » |
@Elvis: Ich habe doch nicht behauptet, dass die Aussage falsch ist! Ich habe sogar auf Deine Vorgehensweise zum Beweisen verwiesen! Und mir ist schon bewusst, dass keine Gruppe ist -- weil die Aussage wahr ist, kann ich in einer Gruppe gar kein "Gegenbeispiel" angeben. Aber mein "Gegenbeispiel" bezog sich rein auf "x ° b = y ° b ==> x = y": ja, das funktioniert in einer Gruppe, aber nein, nicht überall und jederzeit. forbin hat seine Schlussfolgerung im ersten Beitrag nicht argumentiert, und die Aufgabe legt doch den Verdacht nahe, dass sie oder er mathematisch noch am Anfang steht. Da finde ich es wichtig, darauf hinzuweisen, denn ich habe nicht angenommen, dass er sich "da multipliziere ich von rechts mit dem Inversen von b" gedacht hat, um zum Ergebnis zu kommen -- vielleicht tue ich ihr oder ihm ja unrecht. Der Beweis im zweiten Beitrag von forbin ist ja dann vollkommen korrekt und in der Ausführlichkeit, die der Aufgabensteller wohl erwartet. |
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| 10.11.2015, 11:50 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
@forbin "So in etwa dachte ich schon." Das ist nett, aber noch kein Beweis. Du musst erst noch einen Beweis aus den Hinweisen von ollie3 und mir machen. Mit der Gruppe G={a,b,e} kannst Du so nicht argumentieren. Für a=e wäre das nur die Gruppe G={e,b}, für a²=b ist es die Gruppe G={e,a,a²}. Dieser Ansatz hilft nicht viel, und für den allgemeinen Fall einer endlichen Gruppe hilft er gar nichts. @Dangalf Im großen und ganzen stimme ich dir zu. Andererseits weiß man in einer Gruppe, dass aus ab=b für ein b stets a das neutrale Element der Gruppe ist. |
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