Matrixnorm

08.11.2015, 20:39

Lynn2

Auf diesen Beitrag antworten »

Matrixnorm

Meine Frage:
Sei $\begin{eqnarray*} \left\Vert \cdot \right\Vert \end{eqnarray*}$ eine Matrixnorm. Ist auch $\begin{eqnarray*} \left\Vert A \right\Vert_{quad} = \sqrt{\left\Vert A^2 \right\Vert} \end{eqnarray*}$ eine Matrixnorm?

Meine Ideen:
Guten Abend erst einmal... smile

smile

Ich weiß, dass ich die 3 Eigenschaften der Matrixnormen nachweisen muss. (Positivität, Homogenität & Dreiecksungleichung)
Doch woher weiß ich, was die Norm besagt?
Bei der Einsnorm gilt ja bspw.
$\begin{eqnarray*} \left\Vert A \right\Vert_{1} = \max_{j=1,...,n} \sum\limits_{i=1}^{n} | a_{ij} | \end{eqnarray*}$ .

Vielen Dank im Voraus Augenzwinkern

Augenzwinkern

08.11.2015, 21:00

URL

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Matrixnorm
Du weißt nur,welche Eigenschaften die Matrixnorm $\begin{eqnarray*} \left\Vert \cdot \right\Vert \end{eqnarray*}$ hat. Damit musst du arbeiten.

08.11.2015, 21:19

Lynn2

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Matrixnorm
Ja, die drei Eigenschaften kenne ich.
Doch ich weiß nicht, wie ich diese auf spezielle Norm anwenden kann, da ich nicht weiß, wie die spezielle Norm 'aussieht'.

08.11.2015, 21:21

URL

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Matrixnorm
Das brauchst du auch nicht zu wissen. Die Eigenschaften reichen vollkommen.

08.11.2015, 21:22

Lynn2

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Matrixnorm
Die erste Eigenschaft ist die Positivität:

$\begin{eqnarray*} \left\Vert A \right\Vert_{quad} \geq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \left\Vert A \right\Vert_{quad} = 0 \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} A = 0 \end{eqnarray*}$

Die Eigenschaft gilt bei $\begin{eqnarray*} \left\Vert A \right\Vert_{quad} \geq 0 \end{eqnarray*}$ , weil A quadriert wird. Jedoch nicht bei $\begin{eqnarray*} \left\Vert A \right\Vert_{quad} = 0 \end{eqnarray*}$ , weil A innerhalb einer Wurzel steht. Ist das richtig?

08.11.2015, 21:32

URL

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Matrixnorm
Ich habe keine Ahnung, worauf du da gerade hinaus willst.
Offensichtlich gilt $\begin{eqnarray*} \left\Vert A \right\Vert_{quad} \geq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \left\Vert A \right\Vert_{quad} = 0 \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} A = 0 \end{eqnarray*}$

Lies nochmal nach, wie Positivität genau definiert ist.

Anzeige

08.11.2015, 21:39

Lynn2

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Matrixnorm
Ich hab die Aussage eben auf $\begin{eqnarray*} \left\Vert A \right\Vert_{quad} = \sqrt{\left\Vert A^2 \right\Vert} \end{eqnarray*}$ bezogen.

08.11.2015, 21:44

URL

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Matrixnorm
und was ist mit der Positivität? Oder sollte ich besser sagen positiven Definitheit?

08.11.2015, 21:48

Lynn2

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Matrixnorm
Die Positivität gilt, weil die Matrix A quadriert wird und somit keine negativen Elemente enthält.

08.11.2015, 21:53

URL

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Matrixnorm
1. Berechne $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}0&1\\0 &-1\end{pmatrix}^2 \end{eqnarray*}$
2. Lies die Definition positiv definit.

08.11.2015, 21:59

Lynn2

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Matrixnorm
Ach ja, natürlich. Hammer

Hammer

Man muss zum Quadrieren eine Matrizenmultiplikation durchführen und da kann natürlich auch ein negatives Vorzeichen hervorgehen!

Positiv definit bedeutet $\begin{eqnarray*} x^TAx > 0 \end{eqnarray*}$ und alle Eigenwerte sind größer Null.

08.11.2015, 22:06

URL

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Matrixnorm
Du musst untersuchen, ob aus $\begin{eqnarray*} \left\Vert A \right\Vert_{quad} = 0 \end{eqnarray*}$ auch A=0 folgt.

08.11.2015, 22:14

Lynn2

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Matrixnorm
Und wie untersuche ich das?

08.11.2015, 22:21

URL

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Matrixnorm
du könntest ja mal mit der Definition von $\begin{eqnarray*} \left\Vert A \right\Vert_{quad} \end{eqnarray*}$ anfangen

08.11.2015, 22:26

Lynn2

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Matrixnorm
$\begin{eqnarray*} 0=\left\Vert A \right\Vert_{quad} = \sqrt{\left\Vert A^2 \right\Vert} = \sqrt{\left\Vert 0 \right\Vert} = n.d. \end{eqnarray*}$

08.11.2015, 22:28

URL

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Matrixnorm

Zitat:

Original von Lynn2
$\begin{eqnarray*} 0=\left\Vert A \right\Vert_{quad} = \sqrt{\left\Vert A^2 \right\Vert} \textcolor{red}{= \sqrt{\left\Vert 0 \right\Vert}} = n.d. \end{eqnarray*}$

woher kommt das denn jetzt???

08.11.2015, 22:37

Lynn2

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Matrixnorm
von A = 0 verwirrt

verwirrt

08.11.2015, 22:41

URL

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Matrixnorm
zu dumm nur, dass du das nicht weißt sondern untersuchen sollst, ob es gilt

08.11.2015, 22:44

Lynn2

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Matrixnorm
$\begin{eqnarray*} 0=\left\Vert A \right\Vert_{quad} = \sqrt{\left\Vert A^2 \right\Vert} \end{eqnarray*}$

Also erstmal nur das. Aber nun komme ich nicht weiter... traurig

traurig

08.11.2015, 22:46

URL

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Matrixnorm
Daraus folgt doch offenbar $\begin{eqnarray*} 0=\left\Vert A^2 \right\Vert \end{eqnarray*}$
Und folgt daraus jetzt A=0?

08.11.2015, 22:59

Lynn2

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Matrixnorm
$\begin{eqnarray*} \left\Vert A \right\Vert_{quad} = \sqrt{\left\Vert A^2 \right\Vert} = 0 \end{eqnarray*}$
Daraus folgt nicht, dass A = 0 ist, würde ich sagen wegen der Wurzel.

09.11.2015, 08:30

URL

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Matrixnorm
Was hat die Wurzel damit zu tun?

Zumal ich ich dir die Wurzel hier

Zitat:

Daraus folgt doch offenbar $\begin{eqnarray*} 0=\left\Vert A^2 \right\Vert \end{eqnarray*}$

schon vom Hals geschafft habe

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »