Permutationen und Produkte disjunkter Zykel

09.11.2015, 14:49	AmHa	Auf diesen Beitrag antworten »
Permutationen und Produkte disjunkter Zykel Meine Frage: Mit FSym( $\begin{eqnarray} \mathbb N \end{eqnarray}$ ) bezeichnen wir die Menge aller Permutationen von $\begin{eqnarray} \mathbb N \end{eqnarray}$ , die fast alle k $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathbb N \end{eqnarray}$ fest lassen. Es ist klar, dass FSym( $\begin{eqnarray} \mathbb N \end{eqnarray}$ ) als natürliche Vereinigung der endlichen symmetrischen Gruppen Sym(n) (n $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathbb N \end{eqnarray}$ ) eine Gruppe ist, in der jedes nicht-triviale Element als ein Produkt endlich vieler disjunkter Zyklen der Länge >1 geschrieben werden kann. a) Zerlegen Sie die Permutation $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ = (1 7 13 11 4 9 5 2) (4 5 2 7 10 13) (6 9 4) (2 8) aus FSym( $\begin{eqnarray} \mathbb N \end{eqnarray}$ ) in ein solches Produkt disjunkter Zykel. b) Zeigen Sie, dass jedes Zykel aus FSym( $\begin{eqnarray} \mathbb N \end{eqnarray}$ ) ein Produkt von Transpositionen ist. c) Zeigen Sie: Ist $\begin{eqnarray} \zeta \end{eqnarray}$ ein Zykel der Länge l, so hat $\begin{eqnarray} \zeta \end{eqnarray}$ die Ordnung l. d) Folgern Sie: Ist $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ FSym( $\begin{eqnarray} \mathbb N \end{eqnarray}$ ) das Produkt der disjunkten Zyklen $\begin{eqnarray} \zeta_1 \end{eqnarray}$ ,..., $\begin{eqnarray} \zeta_n \end{eqnarray}$ , und hat $\begin{eqnarray} \zeta_k \end{eqnarray}$ die Länge l_k, so ist die Ordnung von $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ die eindeutig bestimmte kleinste natürliche Zahl, die sich für jedes k $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ {1,...,n} als ein Vielfaches von l_k schreiben lässt. Meine Ideen: Leider stehe ich auf dem Schlauch und habe gar keine Ideen zu den Aufgaben a) Ist sigma nicht schon eine Zerlegung in Zykel, eine Permutation sieht doch anders aus ? b) und c) Ist damit ein allgemeiner Beweis gemeint, oder eben im Bezug auf die direkte Aufgabe ?
09.11.2015, 15:56	ollie3	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Permutationen und Produkte disjunkter Zykel Hallo, b) und c) kann man allgemein beweisen, und bei a) sind die zykel noch nicht disjunkt. Am besten du uebersetzt bei a) die zykelschreibweise wieder in die "normale" Schreibweise Und schreibst das dann wieder in disjunkte zykel um. Gruss ollie3
10.11.2015, 13:35	AmHa	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Permutationen und Produkte disjunkter Zykel Okay, erstmal danke Und nochmal zur a) ich hätte das jetzt (nach dem Tipp) in eine Permutation umgewandelt und es dann in ein Produkt disjunkter Zyklen zerlegt) Allerdings komm ich direkt bei der Umwandlung nicht so wirklich weiter ? ( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13) ( __ 3 _______________12 __ ) Nur diese Zuordnung ist für mich klar, der erst eigentlich eher nicht ?

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