lineare Abbildung über Zuordnung von Basiselementen definieren

09.11.2015, 20:32

Carmen S. 1990

lineare Abbildung über Zuordnung von Basiselementen definieren

Meine Frage:
Hallo zusammen Augenzwinkern

Mich beschäftigt schon sehr lange warum jede Zuordnung von Basiselementen in unendlichdimensionalen Vektorräumen eine lineare Fortsetzung auf dem ganzen Vektorraum definiert.

Im endlichdimensionalen Fall ist das ziemlich einleuchtend. Man definiert die Fortsetzung einfach über die Darstellung der Vektoren als Linearkombination von Baiselementen.

Im unendlichdim. Fall geht das aber spätestens bei überabzählbar unendlichdim. Vektorräumen schief, denn da kann man gar nicht mehr mit Summen/Reihen arbeiten.

Ich hoffe mir kann jemand helfen.
Vielen Dank schon mal im Voraus.

Meine Ideen:
Vermutlich muss man für den Beweis direkt eine lineare Fortsetzung zu einer beliebigen Zuordnung von Basiselementen definieren. Aber wie soll die bloß aussehen? unglücklich

09.11.2015, 20:53

Leopold

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Es sei $\begin{align*} I \end{align*}$ eine Indexmenge und $\begin{align*} \left\{ \, v_i \, \left| \ i \in I \right. \right\} \end{align*}$ eine Basis des Vektorraums $\begin{align*} V \end{align*}$ . Jedes $\begin{align*} x \in V \end{align*}$ besitzt dann eine eindeutige Darstellung

$\begin{align*} x = \sum_{i \in I} \lambda_i v_i \ \ \text{mit Skalaren} \ \lambda_i \, \text{, fast alle} \ \lambda_i = 0 \end{align*}$

Das funktioniert für jede Indexmenge $\begin{align*} I \end{align*}$ , unabhängig von ihrer Mächtigkeit. Die obige Summe geht nur der bequemeren Darstellung halber über alle $\begin{align*} i \in I \end{align*}$ , in Wahrheit enthält sie in jedem Fall nur endlich viele echte Summanden. Wenn du nun von einer linearen Abbildung $\begin{align*} f: V \to W \end{align*}$ in einen Vektorraum $\begin{align*} W \end{align*}$ über demselben Körper die Bilder $\begin{align*} f(v_i) \end{align*}$ alle kennst, kannst du mit

$\begin{align*} f(x) = \sum_{i \in I} \lambda_i f(v_i) \end{align*}$

das Bild jedes beliebigen Vektors $\begin{align*} x \in V \end{align*}$ berechnen. Anders herum kannst du die Gleichung auch verwenden, um eine lineare Abbildung von der Basis auf den gesamten Vektorraum $\begin{align*} V \end{align*}$ fortzusetzen.

09.11.2015, 21:24

Carmen S. 1990

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Vielen Dank, Leopold! smile

das ist alles sehr einleuchtend. Es geht also fast wie im endlich dimensionalen Fall.

Aber eine Frage hätte ich dann doch noch Augenzwinkern

Kann man denn bei jedem unendlichdimensionalen Vektorraum annehmen, dass man einen beliebigen Vektor nur durch eine endliche Linearkombination von Basisvektoren darstellen kann?
Wieso kann es keine Vektoren geben, die nur mit einer Linearkombination aus allen Basiselementen dargestellt werden können?

09.11.2015, 21:36

Leopold

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Zitat:

Original von Carmen S. 1990
Kann man denn bei jedem unendlichdimensionalen Vektorraum annehmen, dass man einen beliebigen Vektor nur durch eine endliche Linearkombination von Basisvektoren darstellen kann?

Ja. Zu einem konkreten Vektor tragen nur endlich viele Basisvektoren bei.

Zitat:

Original von Carmen S. 1990
Wieso kann es keine Vektoren geben, die nur mit einer Linearkombination aus allen Basiselementen dargestellt werden können?

Man kann keine unendlichen Summen bilden.

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