Formel für minütliche Verdopplung

09.11.2015, 21:32

salocin

Formel für minütliche Verdopplung

Meine Frage:
Wasser strömt in einen Tank. Das Wasser verdoppelt sich jede Minute. In einer Stunde ist der Tank voll. Wie lange dauert es bis er halb voll ist?

Als Lösung habe ich mit Logik 59 Minuten herausbekommen. Nun ist meine Frage, ob man das mathematisch als Formel darstellen kann.

Meine Ideen:
v(t)= t^2 + c dachte ich könnte ein Ansatz sein, aber leider kommt dabei nichts raus.

09.11.2015, 21:58

Bürgi

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RE: Formel für minütliche Verdopplung
Guten Abend,

Verdoppelungen werden durch den Faktor 2 erreicht.
Die Wassermenge W in Abhängigkeit von t (in min) wird bestimmt durch:

$\begin{eqnarray*} W(t)=a \cdot 2^t \end{eqnarray*}$

a ist der Startwert zum Zeitpunkt null.

a kannst Du bestimmen, da Du weißt, dass nach 60 Minuten der Wasserwert 1 (Tank) beträgt.

09.11.2015, 23:21

salocin

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Scheint nicht die richtige Formel zu sein oder ich rechne was falsch....

Ich komme bei nicht auf das richtige Resultat mit dieser Formel

also hier die Rechnung

$\begin{eqnarray*} W(60) = 1 = a \cdot 2^t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac 1 {2^{60}} = a \end{eqnarray*}$

10.11.2015, 00:10

Dopap

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stimmt!

2 hoch 60 ist eben verdammt viel, etwa 1 Trillion

10.11.2015, 00:12

salocin

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Ok jetzt stimmt es.

Hier noch die Rechnung

$\begin{eqnarray*} 0.5 = \frac 1{2^{60}} \cdot 2^t \end{eqnarray*}$

nach t auflösen

$\begin{eqnarray*} t = \frac {\ln ( \frac 12 \cdot \frac {2^{60}}1)} {\ln(2)} \end{eqnarray*}$

t = 59

10.11.2015, 08:19

Bürgi

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Guten Morgen,

Deine Rechnung ist fehlerfrei Freude

. Du gibst mir allerdings die Möglichkeit, mal so richtig anzugeben. Danke!

$\begin{eqnarray*} 0.5 = \frac 1{2^{60}} \cdot 2^t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac12 = 2^{-1} = \frac 1{2^{60}} \cdot 2^t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2^{-1} \cdot 2^{60}= 2^t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2^{60-1}= 2^t \end{eqnarray*}$

10.11.2015, 10:27

Sündenpfuhl

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Aber diese Formel gibt für t = 0
$\begin{eqnarray*} W(0) = \frac{1}{2^{60}} \neq 0 \end{eqnarray*}$
Aber eigentlich ist der Tank zum Zeitpunkt 0 leer. Sicher ist das Ergebnis für t=0 verschwindend gering, aber es ist dennoch nicht Null.

10.11.2015, 10:47

Steffen Bühler

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Zitat:

[i]Aber eigentlich ist der Tank zum Zeitpunkt 0 leer.

Nein. Wie kommst Du darauf?

Viele Grüße
Steffen

10.11.2015, 13:22

Sündenpfuhl

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Zitat:
"a ist der Startwert zum Zeitpunkt null."

Na schön, dann ist er halt nicht leer bei t = 0. Aber es gibt auch keine Möglichkeit, den Zeitpunkt zu berechnen, wann der Tank leer ist:
$\begin{eqnarray*} 0 = \frac{1}{2^{26} }\cdot 2^x \end{eqnarray*}$
Das ist nicht lösbar.

10.11.2015, 13:24

Sündenpfuhl

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Korrektur :
$\begin{eqnarray*} 0 = \frac{1}{2^{60}} \cdot 2^{t} \end{eqnarray*}$

10.11.2015, 13:26

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von Sündenpfuhl
Aber es gibt auch keine Möglichkeit, den Zeitpunkt zu berechnen, wann der Tank leer ist

Nein, in der Tat. Und?

10.11.2015, 14:39

Sündenpfuhl

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Naja, es wäre befriedigender für mich, wenn die Funktion auch auf 0 abbilden würde. Schließlich ist der Tank ja auch mal leer bevor dort überhaupt Wasser hineingeleitet wird.

10.11.2015, 14:49

Steffen Bühler

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Ach so. Das bleibt Dir unbenommen, hat aber nichts mit der Aufgabe zu tun. Es könnte sich dann ja nicht jede Minute verdoppeln.

Natürlich ist solch eine Aufgabe physikalisch fragwürdig, aber hier sind wir nun mal im Matheboard.

Viele Grüße
Steffen

10.11.2015, 15:02

Sündenpfuhl

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Ich fands halt komisch, dass zum Zeitpunkt t=0 schon Wasser im Tank ist.

Vielen Dank Wink

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